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数学建模竞赛模拟赛题

烤肉模型     你是否经常在烧烤时把鸡肉烤焦?是否希望精确地”估算“烧烤时间?是否希望有一套指导你烧烤的规则?下面的几点提示可以指引你建立一个简便的模型来解决这些问题(每一步的具体实现仍须你自己的努力):
    (a)、当一块肉的内部最低温度达到某一值时,这块肉便算烤好了,这温度值取决于肉的类型和要求熟透的程度。令烘烤时间t为局内变量。试论证局外变
量是生肉与烤炉的dTm,熟肉与烤炉的温差dTc,肉的某一特征尺寸l以及这块肉导热能力的某种度量K。
    (b)、通常用导热率来度量导热的能力,它等于每秒通过单位横截面的总能量除以垂直于横截面的温度梯度。K用 能量/(面积×时间)/度数/长度 来度量。能量的量纲是ML2 t -2,温度是用单位体积的能量来度量的。试对dTm和dTc都相同的类似的肉块确定烘烤时间对重量的依赖关系。(c)、考虑与烧烤时间相关的各元素你便可以自拟一套烧烤的规则。 (编辑:陈进芬)

 

  核 竞 争   随着一声巨响,1945年7月16日5时30分,美国第一颗原子弹在洛斯阿拉莫斯附近的阿拉默尔多试验场爆炸成功。20天后,美国把当时仅有的两颗原子弹分别投向日本的广岛和长崎,造成了20多万人的伤亡。从此以后,西方政治家把原子弹推崇为终极武器。随之导致了现代核竞争。超级大国进行核武器军备竞赛时,都宣称是为了保卫自己的安全,防备“核讹诈”,即要保证在遭到第一次攻击之后,能有足够的核武器保存下来,给对方以致命的还击。人们不禁要问:这场核竞争是否会永无休止地进行下去?在这场竞赛中是否存在所谓稳定区域呢?satay研究了这一问题,得出了以下结果。设甲乙双方的核武器数目分别是x和y(不妨看作是实数),从甲方的角度看,仅当x以某个函数关系超过y,比如x>f(y)时才感到自己是安全的。在图一中xy平面上,曲线x=f(y)称甲方安全线,它的右面是甲方安全区。f(y)显然是一条单调升曲线。曲线与x轴交点 ,就可给乙方以致命打击,从而确保自己的安全。同样,乙方安全线y=g(x)的上方是乙安全区。如果实际上两条安全线果真如图一所示的形状,它们必然相交,那么就存在共同安全区,即核竞争的稳定区。两曲线的交点m( , )称平衡点。 和 是双方都感到安全时,分别拥有的最少的核武器数目。
         下面定性地证明,在一次打击不能毁灭对方全部核武器的条件下,两条单调的曲线x=f(y)和y=g(x)必相交。为此,先证明`x=f(y)从( ,0)开始,其斜率无限增加。
        设乙方的核武器数目是甲方的r倍,即y=rx。根据假设当乙方以全部核武器y袭击甲方时,甲方的核武器不会全部被摧毁。如设甲方每枚核武器保存下来的概率是p(r),则不论r多大,总有p(r)>0。于是甲方平均能保存x×p(r)枚。而根据 的含义,只要x×p(x)  ,甲方就可确保自己的安全。设 是满足x×p(x)  的最小的x,则在乙方拥有r倍于甲方拥有的核武器的情况下,甲方只需有 枚,就是安全的。根据安全线`x=f(y)的意义, 就是x=f(y)与直线y=rx交点n的横座标。从而证明了,不论r多大,x=f(y)都必定与y=rx相交(图二),即其斜率无限增加。

         同样可以证明乙方安全线y=g(x)也有类似的性质,从而二曲线必相交。   如果甲方对核基地采取加固措施,那么在安全的前提下,它的核武器数目可以减少,安全线x=f(y)左移( 不动)。如图三中x= (y)所示。时乙方安全线必然上移为y= (y)。于是平衡点从 移向 ,又移向 。可以预料,核军备竞赛将进一步升级.

 

 

 

 


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