传染病模型

本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。

这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是一般地讨论传染病的蔓延过程。

这个问题与自然科学领域中一些已经有确定规律的问题不同。我们不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型。所以我们的方法是，先做出最简单的假设，看看会得到什么结果，然后针对其不合理或不完善处，逐步增加和修改模型，得到比较满意的模型。下面分三步讨论这个问题。

• 模型i

假设：病人（带菌者）通过接触（空气、食物、……）将病菌传播给健康者。单位时间内一个病人能传播的人数是常数。

记时刻t的病人数为 i，由假设可知

i－i=i

即= （1）

设开始时有个病人

= （2）

方程（1）在初始条件（2）下的解为

（3）

这个结果表明，病人人数将按指数规律无限增加，与实际情况明显地不相符合。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数（不考虑瘟疫流行时期出生和迁移的人数），而在瘟疫流行期间，一个病人单位时间能传播的人数则是在改变的。在传染病流行的初期，较大，随着病人的增多，健康者的减少，被传染的机会也将减少，于是变小。所以应该对本模型的假设进行修改。我们进一步讨论下面的模型。

模型

记时刻的健康者人数为，当总人数不变时，应随着的减少而变小。

假设：

i）总人数为常数n，且（4）

2) 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 ，称传染系数。

根据假设二)，方程（1）中的应为，

即 （5）

以（22）式代入，

（6）

初始条件仍用（2）式，用分离变量法不难求出方程（6）满足条件（2）的解为

（7）

图1传染人数随时间t的变化曲线

曲线表示在图1中。

根据（7）式，单调增加，并且当时，，这意味着所有的人最终都要被传染。事实上，由于被传染的病人或者经治愈后而免疫，或者死亡，所以病人人数最终将趋于零。我们将在模型中考虑这个因素。

模型二在传染病流行的前期还是可以应用的，传染病学专家用它来预报传染病高潮到来的时刻，即病人人数增加最快的时刻，为此，利用（6）和（7）式求出

图1-4 随时间t的变化关系

　 (8）

图1—4画出了的大致形状。

达到最大值的时刻即是传染病高潮时刻。由不难得到

（9）

式中传染系数可由经验和统计数据估计。