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数学建模竞赛模拟赛题

传染病模型

本世纪初,瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关?如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变?科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程,以便对这些问题做出回答。

这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理,而是一般地讨论传染病的蔓延过程。

这个问题与自然科学领域中一些已经有确定规律的问题不同。我们不可能立即对它做出恰当的假设,建立完善的模型。所以我们的方法是,先做出最简单的假设,看看会得到什么结果,然后针对其不合理或不完善处,逐步增加和修改模型,得到比较满意的模型。下面分三步讨论这个问题。

  • 模型i

假设:病人(带菌者)通过接触(空气、食物、……)将病菌传播给健康者。单位时间内一个病人能传播的人数是常数

记时刻t的病人数为 i,由假设可知

ii=i

= 1

设开始时有个病人

= 2

方程(1)在初始条件(2)下的解为

3

这个结果表明,病人人数将按指数规律无限增加,与实际情况明显地不相符合。事实上,一个地区的总人数大致可视为常数(不考虑瘟疫流行时期出生和迁移的人数),而在瘟疫流行期间,一个病人单位时间能传播的人数则是在改变的。在传染病流行的初期,较大,随着病人的增多,健康者的减少,被传染的机会也将减少,于是变小。所以应该对本模型的假设进行修改。我们进一步讨论下面的模型。

模型

记时刻的健康者人数为,当总人数不变时,应随着的减少而变小。

假设:

i)总人数为常数n,且4

2) 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为 称传染系数。

根据假设二),方程(1)中的应为

5

以(22)式代入,

6

初始条件仍用(2)式,用分离变量法不难求出方程(6)满足条件(2)的解为

7

图1传染人数随时间t的变化曲线

曲线表示在图1中。

根据(7)式,单调增加,并且当时,,这意味着所有的人最终都要被传染。事实上,由于被传染的病人或者经治愈后而免疫,或者死亡,所以病人人数最终将趋于零。我们将在模型中考虑这个因素。

模型在传染病流行的前期还是可以应用的,传染病学专家用它来预报传染病高潮到来的时刻,即病人人数增加最快的时刻,为此,利用(6)和(7)式求出

图1-4 随时间t的变化关系

  (8

14画出了的大致形状。

达到最大值的时刻即是传染病高潮时刻。由不难得到

9

式中传染系数可由经验和统计数据估计。

 

 


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