2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛
B题 彩票中的数学 参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。
1. 模型假设与符号说明
彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；
彩民购买彩票是随机的独立事件；
对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；
根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T =35年。
---第
等（高项）奖占高项奖总额的比例，
；
----第
等奖奖金额均值，
；
----彩民中第
等奖
的概率，
；
----彩民对某个方案第
等奖的满意度，即第
等奖对彩民的吸引力，
；
----某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数；
----彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；
2. 模型的准备
（1）彩民获各项奖的概率
从已给的29种方案可知，可将其分为四类,
:10选6+1（6+1/10）型、
: 
选
型、
:
选
型和
:
选
无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：
l
：10选6+1（6+1/10）型
，
，
, 
l
：
选
型
，
，
，
，
，
，
。
l
：
选
型
，
，
，
，
，
，
。
l
：
选
无特别号型
，
，
，
，
。
各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率
计算如表一。
表一：
|
方案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6+1/10 |
2×10-7 |
8×10-7 |
1.8×10-5 |
2.61×10-4 |
3.42×10-3 |
4.1995×10-2 |
----- |
0.045695 |
|
7/29 |
6.40705×10-7 |
4.48494×10-6 |
9.4184×10-5 |
2.8255×10-4 |
2.8255×10-3 |
4.7092×10-3 |
0.029825 |
0.037742 |
|
6+1/29 |
6.40705×10-7 |
1.4096×10-5 |
8.4573×10-5 |
8.8880×10-4 |
2.2200×10-3 |
1.4800×10-2 |
0.019734 |
0.037742 |
|
7/30 |
4.91207×10-7 |
3.43845×10-6 |
7.5646×10-5 |
2.2694×10-4 |
2.3828×10-3 |
3.9714×10-3 |
0.026476 |
0.033137 |
|
7/31 |
3.80290×10-7 |
2.66203×10-6 |
6.1227×10-5 |
1.8368×10-4 |
2.0205×10-3 |
3.3675×10-3 |
0.023572 |
0.029208 |
|
7/32 |
2.97101×10-7 |
2.07971×10-6 |
4.09913×10-5 |
1.4974×10-4 |
1.722×10-3 |
2.8700×10-3 |
0.021047 |
0.025832 |
|
7/33 |
2.34080×10-7 |
1.63856×10-6 |
4.0964×10-5 |
1.2289×10-4 |
1.4747×10-3 |
2.4578×10-3 |
0.018843 |
0.022941 |
|
7/34 |
1.85887×10-7 |
1.30121×10-6 |
3.3831×10-5 |
1.0149×10-4 |
1.2687×10-3 |
2.1145×10-3 |
0.016916 |
0.020436 |
|
7/35 |
1.48709×10-7 |
1.04097×10-6 |
2.8106×10-5 |
8.4318×10-5 |
1.0961×10-3 |
1.8269×10-3 |
0.015224 |
0.018261 |
|
7/36 |
1.19794×10-7 |
8.38556×10-7 |
2.3480×10-5 |
7.0439×10-5 |
9.5092×10-4 |
1.5849×10-3 |
0.013736 |
0.016367 |
|
6+1/36 |
1.19794×10-7 |
3.47402×10-6 |
2.0844×10-5 |
2.9182×10-4 |
7.2954×10-4 |
6.5659×10-3 |
0.008755 |
0.016367 |
|
7/37 |
9.71301×10-8 |
6.79911×10-7 |
1.9717×10-5 |
5.9152×10-5 |
8.2813×10-4 |
1.3802×10-3 |
0.012422 |
0.014710 |
|
6/40 |
2.6053×10-7 |
1.5632×10-6 |
5.1584×10-5 |
1.2896×10-4 |
2.0634×10-3 |
2.7512×10-3 |
0.028428 |
0.033425 |
|
5/60 |
1.831×10-7 |
9.155×10-7 |
4.9437×10-5 |
9.8874×10-5 |
