2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

A题 车灯线光源的优化设计 参考答案

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一. 假设和简化 (略)

二. 模型的建立

建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W，B,C点的光强度分别为W和W，先求和的表达式，再建立整个问题的数学模型.

以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为，焦点坐标为（0,0,15）。

1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量

设反射点的坐标为Q.记入射向量为,该点反射面外法线方向为,不难得到反射向量满足

记,由

从而得的表达式

注意到反射光通过C点,应有

其中为常数. 从上述第一式可解得或.由此得反射点坐标满足以下两组方程:

通过计算可知,存在,当时第一组方程不存在满足的实根,即无反射点. 而当时,有两个反射点.

而第二组方程仅当时存在满足的一对实根,即有两个反射点记为.

若反射点的坐标为,则位于点的单位能量点光源经点反射到C点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为

其中

而为反射向量与z轴的夹角,

2)的表达式

长的具有单位能量的线光源位于点的长的微小线光源段反射到C点的能量密度为

其中

长的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为

类似可得的表达式.相应的反射点方程为

相应的而第二组方程的有两个反射点的范围为

3） 优化设计的数学模型

设线光源的功率为W, 则它反射到B点和C点的能量密度分别为和.问题的数学模型为:

三. 模型的求解

可以用数值积分求得. 应具备下列性质：

其中为起亮值，为最大值点，为考察的最大范围，例如取为20mm。也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解,
记其解为,再求出,不难看出且落在之中。

令现证为问题之最优值。事实上，对可行域中任一，

当有（用到时）。

当，有，（用到时）。

这就证明了的确是最小值。

事实上数值结果为.

四. 反射光亮区的计算

分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的.

五. 注记

(1) 计算的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B(或C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B(或C)点的反射能量密度.

但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(或C)点附近小面元的取法等).

(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。