2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

A题  车灯线光源的优化设计  参考答案

 

注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。

 

. 假设和简化 ()

 

. 模型的建立

      建立坐标系如下图,记线光源长度为l  ,功率为WB,C点的光强度分别为W


其中为起亮值,为最大值点,为考察的最大范围,例如取为20mm也有类似的性质,且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解,
记其解为,再求出,不难看出落在之中。

       现证为问题之最优值。事实上,对可行域中任一

(用到)。

,有,(用到)。

这就证明了的确是最小值。

       事实上数值结果为.

  

.  反射光亮区的计算

        分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合,计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线,判断其是否与车灯反射面相交,若相交,一次反射光不能到达测试屏,否则求出该反射光线与反射屏平面的交点,即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴,纵坐标为y轴,单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的.

   

 

.  注记

 

(1) 计算的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是: 在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后, 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合,在测试屏B(C)点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线,将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B(C)点的反射能量密度.

但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度(必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B(C)点附近小面元的取法等).

 

(2) 以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题,即假设线光源是透明的。如果假设线光源是不透明的,似乎更符合现实。此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡,计算会更复杂些,计算结果也会有所不同。