1995年全国大学生数学建模竞赛

a 一个飞行管理模型

    在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角,以避免碰撞。现假定条件如下:

    1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;
    2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;
    3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;
    4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上;
    5) 最多需考虑6架飞机;
    6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的座标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。记录数据为:
飞机编号 横座标x 纵座标y 方向角(度)
1 150 140 243
2 85 85 236
3 150 155 220.5
4 145 50 159
5 130 150 230
新进入 0 0 52
注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

 

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 b 天车与冶炼炉的作业调度

      某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是,地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p;a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3;b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢,简称半钢)b1, b2;原料供应处q。这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道,上面布置着若干天车t1,t2,...,tn炉了作业服务。布局示意如下。
 
|---------t1----t2----------------------------tn--------------|
p a1 a2 a3 b1 b2 q
      天车与冶炼炉的作业过程与工序为:天车从q处吊起原料一罐(吊罐时间ty)运至b1或b2处放下(放罐时间ti),并将上一炉的原料空罐吊起(吊空时间to)返回q处放下(放空罐时间tk)。b组炉的原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼(冶炼时间tb),由天车吊起半钢罐(吊罐时间td)运至a1或a2、a3处将半钢倒入转炉(倒入时间te),并将空罐返回b1或b2处放下(放空罐时间tc)。再由天车从p处吊起辅料一槽(吊起时间tg)运至a1或a2、a3处加入转炉(加入时间tf),并将空槽返回p处放下(放空槽时间th)。a组炉在半钢和辅料加入后即可开始冶炼(冶炼时间ta),冶炼后成品钢人输出不用天车(输出时间记人ta)。天车通过相邻两个工作点人运行时间都相同,记为tx。由于各台天车在同一轨道上运行,因此其顺序位置t1, t2, ...,tn不可交换。在同一时间同一座炉子上只能允许一台天车作业;但p、q两处可以允许多台天车同时作业。在p,a1,...,q每两个相邻工作点之间最多能容纳2台天车同时停放。天车与冶炼炉作业调度的要求为:
       (1) 成品钢产量尽量高;
       (2)各台天车的作业率(天车作业时间所占比例)尽量均衡(考虑到设备人员安全等因素,一般天车作业率不超过70%);
       (3)绝不允许天车相撞等事故;
       (4)调度规则尽量简明,以利于现场人员使用。
现设定:ta=48,tb=27,ti=3,to=2,tc=2,td=3,te=5,tf=2,tg=2,th=1,ty=3,tk=2(单位:分钟),tx=15秒;a组炉平均每炉产量wa=120吨。在不超过5台天车的条件下,设计一种满足上述要求的
天车与冶炼炉的作业调度方案:
        (1) 各台天车负责那些作业(列出《工序清单》);
        (2) 在所给方案的一个周期内,每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态(画出《天车—炉子作业运行图》);
        (3) 一份供现场人员使用的《调度规则说明书》;
        (4) 在所给方案下计算各台天车的作业率。
并按每天冶炼炉数估计该车间成品钢的年产量(扣除设备维修日,每台转炉作业日每年按300天计算)。实际生产中,ta, tb, ..., tk都是随机的(上面设定的数值可视为平均值),讨论你的调度方案如何适用于实际生产过程。试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。