1994年全国大学生数学建模竞赛

a 逢山开路

    要在一山区修建公路, 首先测得一些地点的高程, 数据见表1(平面区域0 ≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的高程, 单位:米).数据显示:
在 y=3200 处有一东西走向的山峰; 从坐标 (2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 --- 东南走向的山谷; 在 (2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季在山谷中形成一溪流. 经调查知, 雨量最大时溪流水面宽度 w 与(溪流最深处) 的 x 坐标的关系可近似表示为

w(x)=((x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400≤x≤4000).

公路从山脚 (0,800) 处开始, 经居民点 (4000,2000) 至矿区 (2000,4000). 已知路段工程成本及对路段坡度α (上升高程与水平距离之比) 的限制如表 2.
    1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道), 并估算该方案的总成本.
    2) 如果居民点改为3600≤x≤4000, 2000≤y≤2400的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的方案有什么改变.
表一 ↑ 北
_______________________________________________________________________________
4800┃1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15
4400┃1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21
4000┃1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35
3600┃1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50
3200┃1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155
2800┃ 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120
2400┃ 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110
2000┃ 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95
1600┃ 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75
1200┃ 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 55
 800┃ 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35
 400┃ 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32
   0┃ 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25
____┃_________________________________________________________________________
 y/x┃ 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560
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表 二

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┃ ┃ ┃ 工程种类 ┃一般路段 ┃ 桥梁 ┃ 隧 道  ________┃_________┃______┃______________________________________ 工程成本(元/米)┃ 300 ┃ 2000 ┃ 1500(长度≤300米); ┃ ┃ ┃ 3000(长度> 300米); _________┃_________┃______┃______________________________________ ┃ ┃ ┃ 对坡度α的限制 ┃α< 0.125┃α= 0 ┃ α< 0.100 _________________________________________________________________________

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1994年全国大学生数学建模竞赛

  b 题  锁具装箱    

    某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一批.  出来的所有互不相同的锁具称为一批.         从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中"一把钥匙开一把锁". 但是在当前工 艺条件下, 对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对应的 5个 槽的高度中有 4个相同, 另一个的高度差为 1, 则可能互开; 在其它情形下, 不可能互开.         原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售. 团体顾客往往购买 几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形. 现聘聘请你为顾问, 回答并解 决以下问题:

    1) 每一批锁具有多少个, 装多少箱.

    2) 为销售部门提供一种方案, 包括如何装箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志, 出售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少抱怨.

    3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量不超过多少箱, 就可以保证一定不会出现互

    4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱者给出具体结果).