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牛顿问题

 

伟大的科学家牛顿在1707年曾提出一个草地与母牛的问题:
a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完;
a′头母牛将b′块地上的牧草在c ′天内吃完;
a〞头母牛将b〞块地上的牧草在c〞天内吃完;
求出从a到c〞9个数量的关系。
假设所有草地提供牧草量相同。每块草地每日长草量保持不变,且每头母牛每天吃草量相同。由于问题的有趣和解法在其它问题中的应用,使它成为数学史上著名的命题。现在我们从具体问题上进行说明。
例1 牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,那么21头牛几周吃完?
解:设1头牛1周吃的草为1份,27头牛6周吃27×6=162(份),23头牛9周吃23×9=207(份),这说明牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15(份)。
原来(牛吃前)牧场有草 162-15×6=72(份)
吃新草的牛需要 15÷1=15(头)
吃旧草的牛有 21-15=6(头)
吃完草的时间 72÷6=12(头)

评注:牛顿问题是一个很有趣的问题,关键在于牧场每天都长新草,通过两组条件的比较,先求出每天(周)长牧草的新草量,然后把牛分成两部分,一部分吃新草,一部分吃旧草,从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的,但在解数学问题中,这种分成几部分去解决问题的方法,可以使复杂的问题变成简单的问题,化繁为简是常常应用的技巧之一。

例2 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天?
解:20头牛5天吃草20×5=100(份),15头牛6天吃草15×6=90(份)
青草每天减少(100-90)÷(6-5)=10(份)
牛吃草前牧场有草100+10×5=150(份)
150份草吃10天本可供150÷10=15(头)
但因每天减少10份草,相当于10头牛吃掉,,所以只能供牛15-10=5(头)

评注:本题和上题类似,草每天在减少,通过两组条件的比较,求出每天牧草的减少量,然后把牛看作两部分,一部分是看得见的牛,一部分是看不见的牛--寒冷的化身,分别计算,最后求差。

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