线性代数期中考试解答（06）

一、判断下列各题是否正确

1． 若A、B是同阶方阵，则（A＋B）² ＝A＋2AB＋B ²。 （　×　）

2． 矩阵A、B的积AB＝0，则A＝0或B＝0。 （　×　）

3． 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，则BCA＝E。 （ √ ）

4． 设A为一任意矩阵，则A＋A^T，AA^T均为对称矩阵。 （　√　）

5． 设对矩阵A施行初等变换得到矩阵B，且已知秩(A)＝r，秩(B)=s,则r = s 。 （　√　）

二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）

　1．若方程组存在非零解，则常数t = [ D ]。

　　（A）　2　　（B）　4　　（C）　－2　　（D）　－4

　2．设有n阶方阵A与B等价，则　[ C ]。

(A)　| A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B |

3．若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是　[ D ]。

（A）（2A）^-1 = 2 A^-1 (B) |2A| = 2 | A | (C) (D) (A^-1 )^T = ( A^T )^-1

　4．设，则4A₄₁+3A₄₂+2A₄₃+A₄₄ = [ A ]

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

　5．已知可逆方阵，则A＝　[ B ]。

　　（A）　（B）　　（C）　　　（D）

　6．设矩阵A、B、C满足AB＝AC，则B＝C成立的一个充分条件是　[ C ]。

(A) A为方阵　　　（B）A为非零矩阵　(C) A为可逆方阵　(D) A为对角阵

　7．，则x⁴的系数是　[ C ]。

(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2

三、计算下列各题

1． 解：＝（－1）^n-1 (n-1)

2． 已知AB＝A＋2B，其中矩阵，求矩阵B。

3． 已知A、B为4阶方阵，且｜A｜＝－2，｜B｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B ^T | ; (3) | ( AB )^-1 |。

解：(1) ｜5AB｜＝5⁴｜A｜｜B｜＝-3750

(2) ｜-AB^T｜＝（－1）⁴｜A｜｜B｜＝-6

(3) ｜（AB）^-1｜＝｜AB｜^-1＝－1/6

　已知AP＝PB，其中，求矩阵A及A⁵。

4． 设，求其逆矩阵。

解：

四、证明题：

1． 设方阵A满足A²－A－2E＝0，证明：A和A＋2E都可逆。

2． 设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，证明：(A^*)^*=|A| ^n-2 A。

　　　　

3． 设A为n阶方阵，且A ² = A，证明：r (A) + r (A－E) = n 。