高等数学II试题（06）
一、选择题（每小题3分，共计3分
5=15分）
1．曲面
上对应于点
处与
轴正向成锐角的法向量
可取为
。
（A）．
； （B）．
；
（C）．
； （D）．
。
2．设有两空间区域，
：
；
：
。
则以下结论正确的是 。
（A）．
； （B）．
；
（C）．
； （D）．
。
3．已知
是微分方程
的解，则
的表达式为 。
（A）．
； （B）．
； （C）．
； （D）．
。
4．设
的正弦级数展开式为
，则
成立的区间为
（A）．
； （B）．
； （C）．
； （D）．
5．下列微分方程中，通解为
的方程是 。
（A）．
； （B）．
；
（C）．
； （D）．
。
二、填空题（每小题4分，共计4分
5=20分）
1．微分方程
的特解形式可设为
。
2．曲面
上点
处的切平面方程为 ，法线方程为 。
3．积分
的值为 。
4．设
，则
在点
处的方向导数的最大值为 。
5．若幂级数
在点
处条件收敛，则该级数的收敛半径为 。
三、求解下列各题（每小题6分，共计6分
3=18分）
1．计算二重积分
，
是
在第一象限的部分。
2．求由
所确定的隐函数
在点
处的全微分。
3．已知
，
是可微函数，求
与
。
四、（8分）求抛物线
和直线
之间的最短距离。
五、（8分）设
，
是由曲面
与
所围成的闭区域，
在
上连续。试分别将此三重积分
表示成直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的
三次积分。
六、（8分） 计算
，其中
是由曲线
绕
轴旋转一周而成的下侧曲面。
七、（8分）求
的收敛区间与和函数
，并求
。
八、（10分）设
连续可导，且
。求
，使得积分
与
路径无关，并求当
，
时的积分值。
九、（5分）证明：
，其中
，
为光滑曲线
的长度