2001—2002高数2解答

一、填空（每题4分）

1．设具有连续的一阶偏导数，其中，则

2．设域是在与两者中比较大的值是

3．设幂级数的收敛域为（―4，2），则幂级数的收敛区间为（0 , 6）

4．微分方程的通解是

二、试解下列各题（每题6分）

1．设是连续函数，改变二次积分＝

2．计算曲线积分。式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段。

解：　积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)

原积分＝

3．计算，其中为球面的外侧。

解：由高斯公式，原积分＝

4．求微分方程的一个特解。

解：特征方程：

设。

三、（8分） 设曲面为是此曲面上一点，试证曲面在点处的法线与向径垂直。

解：法线方向向量：故曲面在点处的法线与向径垂直。

四、（10分） 修建一座容积为的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。

解：设仓库的长、宽、高分别为x、y、z,容积为V=xyz　。 设地上造价每单位面积为单位1，地上总造价为S₁=2(xy+xz+yz),地下总造价为S=3xy+xy+2(2xz+2yz)=4(xy+xz+yz)，x>0,y>0,z>0

由条件极值，设F=4(xy+xz+yz)+λ(xyz-v),求偏导，令偏导为零得驻点：

由问题的最小值存在，且在定义域内有唯一驻点，其即为所求。

五、（8分） 函数由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求。

解：

六、（8分） 设是由及所围的有界闭区域。计算。

七、（6分） 求函数在（1，1）点沿方向的方向导数。

八、（6分） 设都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分与都与积分路径无关。试证：对于函数，恒有。

九、（14分）

1． 求幂级数的收敛区间及和函数。

2． 周期为2的函数，设它在一个周期上的表达式为，将展成傅立叶级数。