概率论与数理统计
一、（12分）设A、B、C是三随机&#=
20107;件，且_{}，_{}，
试求_{}。
解：_{}_{}. =
=
(3′)
. =
=
(4′)
. =
(5′)
二、（12分）设有一批量=
为100的同型产品，其=
中次品有30件，现在以下两=
种方式随机抽取
2<=
span
style=3D'font-size:12.0pt;font-family:SimSun;mso-ascii-font-family:"Times N=
ew Roman";
mso-hansi-font-family:"Times New Roman"'>件产品。
（a）有放回抽取；=
（b）不放回抽取。=
分别按照这两种方式=
7714;：（1）两次都是次品=
的概率；
（2）第1次是=
次品，第2次是正品的概率=
。
解：设A两次都是次品；=
B表示第一次是次=
品第二次是正品。 =
（2′）
（a）&n=
bsp;
_{} =
&nb=
sp; =
（2′）
=
_{} =
&nb=
sp; =
（2′）
(b) _{} =
&nb=
sp; =
（3′）
_{} =
&nb=
sp; =
（3′）
三、=
（13分）某工厂的车床、=
;钻床、磨床、刨床的&#=
21488;数之比为9:3:2:1，每台型号机=
器在一定时间内需要=
0462;理的概率分别为1/7,2/7,3/7,1/7。当有一台=
机床需要修理时，，=
8382;这台机床是车床的ઍ=
0;率是多少？
解：_{} （2′）
则 _{}， _{} A=
292;_{}，_{} =
_{}，_{}，_{}，_{} =
（4′）
&#=
30001;贝时叶斯公式得 _{}. =
&nb=
sp;
（7′） =
&nb=
sp;
四、=
（13分）设10件产品中恰好有ߐ=
4;件次品，现在接连进&=
#34892;不放回抽样，直到=
462;得正品为止，
试求=
抽样次数X的分布函数。<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>
_{} =
=
（6′）
_{}。 =
&nb=
sp;
=
（=
7′）
五、=
（12分）设连续型随=
机变量X的分布函&#=
25968;为
_{}
试求=
：（1）系数A,B的值；（2）_{} （3）随机变量X的概率密&#=
24230;函数。
解：=
（1）因为 X 是连续型随机变ດ=
7;, _{
} _{} =
(2′)
_{}
=
_{} _{} =
&nb=
sp; =
（4′）
_{} =
_{}
_{} =
&nb=
sp; =
（<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>3′）
_{}
_{}_{} =
&nb=
sp; （3′）
六、（12分）某一彩票中=
心发行彩票 10万张, 每张=
2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元=
, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本=
费为 0.3 元, 请计算彩&#=
31080;发行单位的创收利Ę=
70;.
解：设每张彩票=
中奖的数额为随机变=
7327;X, 则=
X |
10000 |
5000 |
1000 |
100 |
10 |
0 |
P |
1/10^{5} |
2/10^{5} |
10/10^{5} |
100/10^{5} |
1000/10^{5} |
_{} |
（5′）
每张彩票平均能得Ò=
40;奖金
=
&nb=
sp; =
&nb=
sp; =
每张彩票平均可赚=
_{}
因此=
;彩票发行单位发行
=
&nb=
sp; =
=
(2′<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt;mso-hansi-font-family:SimSun'>)
七、=
（15分）已知 (X,Y) 的联合分&#=
24067;律为
(X ,Y<=
/i>) |
（1，1） |
（1，2） |
（1，3） |
（2，1） |
（2，2） |
（2，3） |
_{} |
_{} |
_{} |
_{} |
_{} |
_{} |
_{} |
（<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>1）求_{}，_{}应满足的条件；
（<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>2）若X,Y相互独立，求<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>_{}，_{}的值；
（<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>3）在（2）的基础上，试=
4;_{}和_{}。
解：=
(1)由分布律的性质知=
_{
} _{} =
&nb=
sp; (3′<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt;mso-hansi-font-family:SimSun'>)
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
_{<= !--[if gte vml 1]> }
_{<= !--[if gte vml 1]> }_{} = &nb= sp; = = <= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt;mso-hansi-font-family:SimSun'>(4′)
(3)_{} _{}
_{}
_{<=
!--[if gte vml 1]>
} =
&nb=
sp; =
(6′)
根据独立性，<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>_{} =
&nb=
sp; =
(2′)
八、=
（11分）连续地抛一=
枚质地均匀的硬币900次，试求：（<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>1）至少出现480次正面朝上的概=
率；
（<=
span
lang=3DEN-US style=3D'font-size:12.0pt'>2）出现正面的次=
数在420-480次之间的概率。=
（用标准正态分布函=
5968;值表示）&n=
bsp;
解：（1）设_{}表示第i次的硬币正面情=
况，则_{}_{}；
再设_{}，则&n=
bsp;
_{}
因为，_{}
_{} =
(8′)
（2）_{<=
!--[if gte vml 1]>
}. =
&nb=
sp;
(3′)