高等数学I解答
一、 选择题（每题4分，共16分）
1．
（ D ）。
A、
； B、
； C、
； D、
2．设
在
处可导，且
，则
（ B ）。
A、
； B、
； C、
； D、
。
3．若
是
的一个原函数，则
（ D ）。
A、
； B、
；
C、
； D、
。
4．已知函数
在
处取得极值
，则（ B ）。
A、
且
为函数
的极小值点；
B、
且
为函数
的极小值点；
C、
且
为函数
的极大值点；
D、
且
为函数
的极大值点。
二、填空题（每题5分，共20分）
1． 
。
2．
。
3．
。
4．设
为向量，
为实数。若
，
^
，
，
^
，则
。
三、计算下列各题（每题9分，共45分）
1．求极限
。
解：
2．函数
由方程
确定，求
。
解：
又
，
，得
。
3．求定积分
。
解：
4．求过点
且与平面
和
平行的直线方程。
解：
，
。
5．设
，求
。
解：
，
，
，
四、（7分）长为
的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？
解：设正方形的边长为
，则正方形的面积与圆的面积之和为
。
，
。所以两段铁丝分别为
时，正方形的面积与圆的面积之和最小。
五、解答下列各题（每小题4分，共12分）
1．设曲线
，
轴以及
轴所围区域被曲线
分成面积相等的两部分，求
。
解：由
，
2．设函数
在
上连续，且
。判断方程
在
内有几个实根？并证明你的结论。
解：
，
在
上连续，
，所以
在
内有一个零点。又
，
在
上是单调递增的，所以
在
内有唯一零点，即
在
内有唯一实根。
3、设函数
在
上可导，且
，求证在
内至少存在一点
，使得
。
解：
，
在
上可导。由
，存在
，使得
，即
。由Roll定理，存在
，使得
，即
。