线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T,错误填F。每小题2分,共10)

1 An阶方阵,,则有                      

2 AB是同阶方阵,且,则             

3如果等价,则的行向量组与的行向量组等价。         (    )

4.若均为阶方阵,则当时,一定不相似。         (    )

5n维向量组线性相关,则也线性相关。   

二、单项选择题(每小题3分,共15分)

1.下列矩阵中,(      )不是初等矩阵。

A)  (B)  (C) (D)

2设向量组线性无关,则下列向量组中线性无关的是(      )。

A)     (B) 

C)          (D)

3.设An阶方阵,且。则(   )

 (A)     (B)     (C)     (D)

4.设矩阵,则有(       )。

A)若,则有无穷多解;

B)若,则有非零解,且基础解系含有个线性无关解向量;

C)若阶子式不为零,则有唯一解;

D)若阶子式不为零,则仅有零解。

5.若n阶矩阵AB有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则(   

  A)AB相似      B),但|A-B|=0

C)A=B            (D)AB不一定相似,但|A|=|B|

三、填空题(每小题4分,共20分)

1.                

2.为3阶矩阵,且满足3,则=______,         

3.向量组是线性        (填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是                 

4. 已知是四元方程组的三个解,其中的秩=3,,则方程组的通解为                         

5.设,且秩(A)=2,则a=          

四、计算下列各题(每小题9分,共45分)。

1.已知A+B=AB,且,求矩阵B

2.,而,求

3.已知方程组有无穷多解,求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

5. AB4阶方阵,AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)求矩阵A的特征值;(2)A是否可相似对角化?为什么?;(3)求|A+3E|。

五.证明题(每题5分,共10分)。

1.若是对称矩阵,是反对称矩阵,是否为对称矩阵?证明你的结论。

2.设矩阵,且的秩n,判断是否为正定阵?证明你的结论。