线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)

1． A是n阶方阵，，则有。 （ ）

2． A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）

3．如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )

4．若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )

5．n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（      ）不是初等矩阵。

（A） (B) (C) (D)

2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。

（A） （B）

（C） （D）

3．设A为n阶方阵，且。则（　　　）

(A) (B) (C) (D)

4．设为矩阵，则有（ ）。

（A）若，则有无穷多解；

（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；

（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；

（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）

（A）A与B相似 （B），但|A-B|=0

（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

1． 。

2．为3阶矩阵，且满足3,则=______， 。

3．向量组，，，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

4． 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为 。

5．设，且秩(A)=2，则a=　　　 　　　　。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。

2.设，而，求。

3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。