线性代数试题解答(04)

一、

1.(F)(

2.(T

3.(F)。如反例:

4.(T)(相似矩阵行列式值相同)

5.(F

二、

1.选B。初等矩阵一定是可逆的。

2.选BA中的三个向量之和为零,显然A线性相关; B中的向量组与等价, 其秩为3B向量组线性无关;CD中第三个向量为前两个向量的线性组合,CD中的向量组线性相关。

3.选C 。由

)

4.选DA错误,因为,不能保证B错误,的基础解系含有个解向量;C错误,因为有可能无解;D正确,因为

5.选AA正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,使得,因此都相似于同一个对角矩阵。

三、1 (按第一列展开)

2 =

3 相关(因为向量个数大于向量维数)。 。因为

4 。因为,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5

四、

1.解法一:。将组成一个矩阵,用初等行变换求

=

。故

解法二:

,因此

2.解:

3.解法一:由方程组有无穷多解,得,因此其系数行列式。即

时,该方程组的增广矩阵

于是,方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系,原方程组的一个特解,故时,方程组有无穷多解,其通解为

时增广矩阵,此时方程组无解。

解法二:首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。

由于该方程组有无穷多解,得。因此,即。求通解的方法与解法一相同。

4.解:首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵

因此得到其特征值为

再求特征值的特征向量。

解方程组,得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量

解方程组得对应于特征值为的一个特征向量

再将正交化为

最后将单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵,其标准形为

5 解:(1)由-12的特征值。,故-2的特征值,又的秩为2,即特征值-2有两个线性无关的特征向量,故的特征值为-12-2-2

2)能相似对角化。因为对应于特征值-12各有一个特征向量,对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量,所以有四个线性无关的特征向量,故可相似对角化。

3的特征值为2511。故=10

五、1为对称矩阵。

   证明:

===

所以为对称矩阵。

2为正定矩阵。

证明:由为对称矩阵。对任意的维向量,由 =,由定义知是正定矩阵。