高等数学解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中
1、二重积分
(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为
答 ( B )
2、设∑为球面x2+y2+z2=a2在z≥h部分，0<h<a,则
答 ( D )
二、填空题（将正确答案填在横线上）
1.
设L是 |y|=1－
表示的围线的正向，则 
-2
2.
设u=
，
可微，du=
.
3. 
. I=
.
三、解答下列各题
已知曲线积分
与路径无关，其中
可导，且
，求
。
解：由积分与路径无关，故
代初始条件：
得
四、解答下列各题
设
由方程
所确定，
,求
。
五、解答下列各题
函数
在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。
解：
(4分)
设
则
，其中
为
与
的夹角。
所以当
与
同向时，
=
取最大值。 (10分)
六、解答下列各题
在
内把函数
展成Fourier级数。
解：将已知函数以2π作周期延拓为F(x)其为偶函数，故bn=0 n=1,2,…
七、解答下列各题
计算
其中∑是z=1－x2－y2在xoy面上方的部分曲面的上侧。
解：补一平面块∑1：z=0,x2+y2≤1，取下侧，
∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式
八、解答下列各题
1．求微分方程
的通解。
特征方程
的根为：
对应的齐次方程的通解为
设特解为
故所求通解为
2． 设平面上有三个点
，在
的闭区域D上，求出点M，使它到点O、A、B的距离平方和为最大。
解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：
在区域内部求驻点：
在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，
在边界x=0, 0≤y≤1上
驻点(0,1/3),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。
在边界y=0, 0≤x≤1上
驻点(1/3，0),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。
在边界y=1-x ,0≤x≤1上
驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。
比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。
九、解答下列各题
求幂级数
的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。
解：
收敛半径R＝1
当x=1时
令 
，
当 
时，
单调减
当 
又 
故
为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛。
一般项加绝对值后，当
时， 
，
故 
发散。
故原级数条件收敛。
当x= -1时即
由上面讨论知发散。
收敛区间(-1,1]
十、解答下列各题
1.设Ω是由z=x2+2y2及z=3－2x2－y2所围的有界闭区域。试将
分别化成直角坐标与柱面坐柱下的三次积分式。
2.求正数
，使曲面
与椭球面
在某点有相同的切平面，并写出切点的坐标
。
解：设在点
处相切
则 
即 
由此 
及 
，故 
相应点是
