2003线性代数考试答案　　　　　　　　　2004.1.5

一、填空题（每题5分，共25分）

1．直线　与平面的位置关系是　垂直　。

2．设，则向量a与b的夹角为　　3π/4　　　　　。

3．已知A＝，三阶方阵B¹0，且满足AB＝0，则l＝　-3　　　　。

4．设A为m´n矩阵，B为n´m矩阵，且m>n。则｜AB｜＝　　0　　　　　。

5．已知　　　　2　　　　。

二、（10分）设　求向量组的一个极大无关组。答：a₁，a₂，a₄为一极大无关组。

三、（10分）设化简矩阵方程X(E-B^-1A)^TB^T=E，并求矩阵X。答：

四、（10分）已知a₁，a₂，a₃，是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，若b₁＝a₁＋la₂，b₂＝a₂＋la₃，b₃＝a₃＋la₁，讨论实数l满足什么条件时，b₁，b₂，b₃也是AX＝0的一个基础解系。

答：l≠-1

五、（12分）l取何值时，线性方程组　有唯一解、无解或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解。

答：当l=-2时方程组无解。当l≠-2，l≠1时方程组有唯一解。当l=1时方程组有无穷多解。

当l=1时方程组的通解为：

六、（12分）（1）设l＝2是满秩矩阵A的一个特征值，求的一个特征值。

答：特征值为 7/2

（2）已知四阶方阵A的特征值是－1，1，－2，2，求｜A^＊｜。

答：｜A^＊｜=64

七、（15分）二次型　经正交变换化为标准形　。求常数a, b 及所用的正交变换矩阵。该二次型是否为正定二次型?

答：a=b=0 正交变换 X=PY 其正交变换矩阵为 ，二次型非正定。

八、（6分）设a，b，g均为三维列向量，A＝（a，b，g），B＝（b，g，a），且｜A｜＝－2。求｜A＋2B｜　。

答：由行列式性质知 |B|=|A| ， ｜A＋2B｜=-18