线性代数试题解答(02)

2003.1.12

一、(5分)设:

求向量组{a1a2a3a4}的一个最大线性无关组。

解:a1a2为一个最大线性无关组。

二、(共 5+5+10=20分)

1.  设:

, 

(1)       ;     解:|B| = -3|A|= -6

(2)       。解: =

2.  n阶矩阵:

,其中对角线上的元素都是,未写出的元素都是0。求矩阵A的特征值和矩阵A的行列式。  解: |A|=( a2-1) an-2

三、(共(5+5+ 5 = 15分)

1.  设矩阵

                   

(1)       A的秩为3,求满足的条件;解:|A|0,故a2bc

(2)       若矩阵AB相似,求满足的条件。解:a=3 , bc=3/2

2.  是正定二次型,求满足的条件。

解:a>0,ab-c2>0, b>0

四、(5+5 = 10分)设:

                                  

1.  求一个与ab都正交的向量g。解:

2.  利用施密特正交化方法,把向量组{abg}化为标准正交基(正交规范基)。

解:标准正交基:

五、(10分)为何值时,线性方程组:

    有解,并求通解。

解:a=5时有解,通解为:

六、(10分)求通过直线和坐标原点的平面方程。

解:平面方程为:x-2y+z=0

七、(10分)求一个正交变换P,化二次型为标准型。

解:正交变换矩阵为:  标准形:

八、(5分)求向量

 在基 下的表示。

解:            

九、(10分)设向量组{a1a2a3}线性相关,而向量组{a2a3a4}线性无关。问:a1能否由{a2a3}线性表示?a4能否由{a1a2a3}线性表示?为什么?

解:a1可由{a2a3}线性表示;a4不能由{a1a2a3}线性表示。为什么()

十、(5分)设:

,矩阵X满足AX + E =A2 + X,X。这里E表示单位矩阵。

解: