线性代数试题解答(02)

2003.1.12

一、（5分）设：

求向量组{a₁，a₂，a₃，a₄}的一个最大线性无关组。

解：a₁，a₂为一个最大线性无关组。

二、（共 （5+5）+10=20分）

1． 设：

, 若，

（1） 求; 解：|B| = -3|A|= -6

（2） 求。解： =

2． 设n阶矩阵:

,其中对角线上的元素都是,未写出的元素都是0。求矩阵A的特征值和矩阵A的行列式。 解： |A|=( a²-1) a^n-2

三、（共（5+5）+ 5 = 15分）

1． 设矩阵

（1） 若A的秩为3，求满足的条件；解：|A|≠0，故a≠2bc

（2） 若矩阵A与B相似，求满足的条件。解：a=3 , bc=3/2

2． 若是正定二次型，求满足的条件。

解：a>0,ab-c²>0, b>0

四、（5+5 = 10分）设：

1． 求一个与a、b都正交的向量g。解：

2． 利用施密特正交化方法，把向量组{a，b，g}化为标准正交基（正交规范基）。

解：标准正交基：

五、（10分）为何值时，线性方程组：

有解，并求通解。

解：a=5时有解，通解为：

六、（10分）求通过直线和坐标原点的平面方程。

解：平面方程为：x-2y+z=0

七、（10分）求一个正交变换P，化二次型为标准型。

解：正交变换矩阵为： 标准形：

八、（5分）求向量

在基 下的表示。

解：

九、（10分）设向量组{a₁，a₂，a₃}线性相关，而向量组{a₂，a₃，a₄}线性无关。问：a₁能否由{a₂，a₃}线性表示？a₄能否由{a₁，a₂，a₃}线性表示？为什么？

解：a₁可由{a₂，a₃}线性表示；a₄不能由{a₁，a₂，a₃}线性表示。为什么(略)

十、（5分）设：

，矩阵X满足AX + E =A² + X,求X。这里E表示单位矩阵。

解：