高等数学I试题解答

一、单项选择题

1．（C）

解：原式= （半圆的面积）。

2．（B）

解：面积。

3．（C）

解： ，，，，不存在。

二、填空题

1．。

2．。

解：。

3．唯一。

解：令，，故方程有根。而，单调递减，所以只有唯一实根。

三、解答下列各题

1．解：由是的一个原函数得，又，所以。

。

2．解：令，得 。当时，；当时，。因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为。

四、解法一：。

解法二：

五、解答下列各题

1．解：

2．解：，。

六、解：首先求点处的切线方程。点（）处切线斜率为，切线方程是。然后求切线在轴与轴的交点坐标，将切线方程化成截距式方程为，所以点的坐标为，点的坐标为(或者分别令、求出切线在轴与轴的交点坐标)。所以三角形的面积为。

令，则。 显然，无最小值，而时，有唯一的最大值。 所以，无最大值，而在对应最小值。（或令，，得唯一驻点，且为的最大值点。即得的最小值点，所以的最小值为。

y=

七、解：如图，曲线和在（4，8）点相交，所以

。

八、解：如图建立坐标系，则流出去的水等于阴影部分绕轴旋转所得立体的体积

。

九、1．证明：在区间有唯一驻点。 而，，单调递增；，，单调递减；而，所以取得最大值。又，证毕（注：。

2．解：

（定积分与变量形式无关）。

十、解：，，由得，所以。