线性代数试题解答(01)

2002．1

一、（8分）计算n阶行列式：

解：

二、（8分）设，求矩阵X, 使XA = B。

解：

三、（8分）已知方阵A满足A³ = 2E, 求 （A – E）^-1。（E为单位矩阵）

解： A³ – E = E

(A – E)(A² + A + E) = E

∴(A – E) ^{– 1} = A² + A + E

四、（8分）已知。求R(A)及数。

答： a=1; R(A) = 2

五、（8分）设A为n阶可逆方阵，A^*是其伴随矩阵，求（kA）^*。(k ¹ 0为常数)

答： (kA)* = k^n-1A*

六、（8分）已知，求。

答： 4

七、（15分）设，问：何值时，此方程有唯一解、无穷多解或无解？并在有无穷多解时求其通解。

答： a ≠ 1且a≠-2时有唯一解；

a = -2时无解；

a = 1时有无穷多解，通解为：

八、（8分）设是方程组AX = 0 的基础解系，Ab ¹ 0。证明:向量组

线性无关。

证明：略

九、（8分）设有直线 及平面 P：4x - 2y + z - 2 = 0, 问：直线L与平面P的位置关系如何？（位置关系指直线L与平面P平行、垂直、斜交或直线在平面上）

答：L与П垂直。

十、（15分）求一个正交变换 x = Py, 将二次型

化为标准型。

答：做变换：X = PY 其中：

标准型为：

十一、（6分）设A是n阶正定阵，证明：。

证明：A正定，故其特征值λ1…λn皆大于0且存在可逆矩阵P，使P^-1AP=Λ，Λ为对角阵，其对角元为A的特征值λ1…λn，于是：