线性代数试题解答(01)

                                                                                                                20021

 

一、(8分)计算n阶行列式:

解:

二、(8分)设,求矩阵X, 使XA = B

解:

三、(8分)已知方阵A满足A3 = 2E, A – E-1。(E为单位矩阵)

解: A3 – E = E

(A – E)(A2 + A + E) = E

(A – E) – 1 = A2 + A + E

四、(8分)已知。求R(A)及数

答: a=1; R(A) = 2

五、(8分)设An阶可逆方阵,A*是其伴随矩阵,求(kA*(k ¹ 0为常数)

答: (kA)* = kn-1A*

六、(8分)已知,求

答: 4

七、(15分)设,问:何值时,此方程有唯一解、无穷多解或无解?并在有无穷多解时求其通解。

答:  a 1且a≠-2时有唯一解;

a = -2时无解;

a = 1时有无穷多解,通解为:

八、(8分)设是方程组AX = 0 的基础解系,Ab ¹ 0。证明:向量组

 线性无关。

证明:略

九、(8分)设有直线 及平面 P4x - 2y + z - 2 = 0, 问:直线L与平面P的位置关系如何?(位置关系指直线L与平面P平行、垂直、斜交或直线在平面上)

答:LП垂直。

十、(15分)求一个正交变换 x = Py, 将二次型

化为标准型。

答:做变换:X = PY 其中:

标准型为:

十一、(6分)设An阶正定阵,证明:

证明:A正定,故其特征值λ1…λn皆大于0且存在可逆矩阵P,使P-1AP=Λ,Λ为对角阵,其对角元为A的特征值λ1…λn,于是: