线性代数试题解答(00)

2001.1.6

一、（本题有三小题，每小题8分，共计24分）

(1) 设 a₁ =（1，-2，-1，-2），a₂ = (4，1，2，1)，a₃ =（2，5，4，5），a₄ =（1，1，1，1）。求向量组 {a_1，a_2，a_3，a₄}的一个极大无关组。

解：a_1，a₂为一个极大无关组。

(2) 设向量组，求：

1、3a - 2 b； 2.、< a, b >； 3、 a 与 b 的夹角。

解：1、3a - 2 b= ；2.、< a, b >= -2 ; 3、a 与 b 的夹角=

(3) 设向量组{a_1，a_2，a₃}线性无关，。问：向量组 {b₁，b₂，b₃}是否线性无关？证明你的结论。

解：略

二、（本题12分）

设，解矩阵方程 XA = B.解：

三、（本题12分）

a、 b取何值时，线性方程组：

（1） 无解；（2）有无穷多解，并求其通解。

解：

有无穷多解时，通解为：

四、（本题12分）

设n阶矩阵 ，求A的特征值。

解：

五、（本题有两小题，每小题6分，共12分）

（1） 求过点P(4,0,2)且与直线平行的直线方程。

解：所求直线方程：

（2） 求过z轴且与平面 x + y + z = 0 正交的平面方程。

解：所求平面方程：－x+y=0

六、（本题16分）设，二次型

（1） t取何值时，是正定二次型？解：｜t｜＜3时二次型正定。

（2） 当t >0 时，若通过正交变换x = Ty化为:

求 t 及正交变换T.

解：t=2 正交变换：

七、（本题4分）证明：奇数阶的反对称矩阵的行列式为零。

证：A=-A’;|A|=|-A’|=(-1)ⁿ|A| ;当n为奇数时|A|＝－|A|；故|A|＝0。

八、（本题4分）设A是四阶方阵，。

（1） 求； （2）给出A的一个特征值和A^-1的一个特征值。

解：(1) |A|=-4 (2) –2是A的一个特征值；-1/2是A^-1的特征值。

九、（本题4分）

设4阶矩阵，

（1） 对任意的 都有 ，问矩阵A的秩是多少？此时a、b满足什么条件？

解：此时AX=0无非零解，|A|≠0 故A的秩为4。故应有a≠b且a≠3-2b

（2） 设，若都是齐次方程组 Ax = 0 的解，问矩阵A的秩是多少？此时a、b应取值？

解：此时AX=0有非零解，又x₁ x₂ x₃ 线性无关。故a=b=1 A的秩为1