第二学期高等数学试题(一)
一、填空题(每小题3分，共15分)
1． 设u=x4+y4-4x2y2
，则u x x=
2． 设u=xy+y/x，则u y=
3． 函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是
4． 设幂级数
的收敛半径是4，则幂级数
的收敛半径是
5． 设Σ是柱面x2+y2=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则
=
二、单选(每小题2分，共8分)
1、函数
在点
处连续是它在该点偏导数存在的：
(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。 答（ ）
2、微分方程
满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是
(A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4
(C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4 答（ ）
3、若方程
的系数p+qx=0，则该方程有特解
(A) y=x (B) y=e x (C) y=e – x (D) y=sin x 答（ ）
4、微分方程
的一个特解应具有形式 答（ ）
(A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx)
三、解答下列各题
1． (本小题6分)
利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。
2、(本小题7分)
证明极限
不存在。
3、(本小题5分)
验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ω2y=0的解，并写出该方程的通解。
4、(本小题5分)
设
若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函数，求S(-3π)。
四、解答下列各题：
1、(本小题6分)
更换积分次序：
2、(本小题6分)
求曲线
在t=1处的切线及法平面方程。
五、解答下列各题：
1、(本小题6分)
已知Σ是z=x2+y2上 z≤1的部分曲面，试计算
2、(本小题6分)
计算
，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为V。
六、解答下列各题
1、(本小题5分)
判别级数
的敛散性。
2、(本小题5分)
级数
是否收敛，是否绝对收敛？
3、(本小题5分)
试求幂级数
的收敛半径
4、(本小题5分)
试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数
七、(本大题10分)
已知上半平面内一曲线y=y(x) (x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。