第一学期高等数学试题(一)解答

一、 1.［5分］， 。

2.［5分］

3.［5分］ 因 ，故原极限不存在。

4.［5分］ 函数 与函数 y = x 不表示同一函数。因前者定义域为［-1,1］，后者定义域为［-∞，∞］。

二、 1.［6分］ 。

2.［6分］ 函数 在 x = 0 处的左右极限不等， 故f (x) 在x=0处不连续亦不可导。

3．［6分］ 设 。

4.［6分］ 曲线 的凹凸区间为：(-∞ ，0)上凸，(0，∞)上凹。

三、 1.［8分］ 。

2.［8分］ 。

3.［8分］ 。

4.［8分］ 。

四、 ［8分］ ∵x ³ 0, 1+x >0 ∴ f (x) ³0 ,又∵ f (x) 有界。又∵ ∴在［0，+∞］上f ( x )单增。

五、 ［8分］曲线 及 x 轴的交点：( 1/2, 1/4) 、(0, 0 ) 、(1, 0 )

六、 ［8分］ 设AC长为x 公里 ( 0 £ x £ 3 ) ,水厂到A厂的每公里水管材料费为K元，则总的水管材料费为：

0 £ x £ 3

令得唯一驻点：x = 1

故 x = 1是唯一极小值点，亦为最小值点。

于是有当x = 1 (公里)时，S最小。