第一学期高等数学重修试题(一)解答

一、 求下列各题(每小题4分，共24分)

1.设， 求　。

解：

2. 求　。 解：原式=

3. 极限 　。解：原式=

4. 设函数，则左极限f (0-0)和右极限f (0+0)。解：

5．求。解：

6．求的间断点，并判别间断点的类型。解：因此有间断点 x = 1为可去间断点; x = 2为无穷间断点。.

二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)

1．讨论函数 在 x = 0 处的连续性。

解：

∴ f(x) 在 x = 0 处连续性。

2. 已知　　解：　　

3． 设 求 。

解：

4. 求由xy = e ^x+y 所确定的函数的导数。　解：原式两边对x求导数，得：

三、计算下列积分（每小题5分，共25分）

1. 　 。

2. 　 。

3. 。

4.　

5.　　

四、（7分）求曲线 的单调区间。

解：y’= 2(x+1)(x-2)+(x+1)² = 3(x+1)(x-1), 令 y’= 0 得：x₁=1; x₂ =-1

当∞< x < -1时y’>0, 所给函数单增；

当 -1< x < 1时，y’< 0, 所给函数单减；

当1< x < +∞时，y’>0，所给函数单增。

五、（7分）求y = x³ －6x² ＋9x －4 的极值。

解：y’= 3x² -12x + 9 = 3(x-1)(x-3), y’’= 6x –12 令y’= 0 得：x₁=1; x₂ = 3

当 x = 1时 y’’= -6<0. 函数取极大值，极大值为0；

当 x = 3时 y’’= 6>0. 函数取极小值，极小值为 –4。

六、（7分）求曲线 与y轴及 x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 。

解：x=0 时y=1; x=1时 y=0。

七、（6分） 一窗户的形状系由半圆置于矩形上面所形成。若窗框的周长L一定，试确定半圆的半径和矩形的高，使窗户的面积最大。

解：设半圆的半径为r, 则窗户的面积为：

由于此问题的最大值一定存在，而所得又是唯一驻点，所以是最大值点。这时矩形的高为

H＝