高等数学第一学期半期试题解答（06）
一、
填空
1.
设
当a= 时，
x=0是f(x)的连续点。
解：
2．
＝ 。
解：
3． 
＝A，则a= ，b=
， A=
。
解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0
解出：a=-4/3
b=1/3 代入求得极限A＝8/3
4．函数
的极小值点为 。
解：
驻点
,
在驻点处y’’>0,故驻点为极小值点。
5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)=
。
解：
则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。
解：
二、
是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。
解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续。
三、
解下列各题
1．
解：原式＝
.
2．
；
解：原式＝
3．
,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及
。
解：
四、
试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。
解：
五、
若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。
解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则
六、
证明不等式：
七、
y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限
八、
设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.
证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ;
(2)"lÎR ，存在hÎ(0,x)，使得f’(h)-l[f(h)-h]=1
证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导，
F（1/2）=f(1/2)-1/2>0
F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点x，使F（x ）=0,即f (x)=x.。
(2) 证：
