第一学期高数半期试题解答

一、 试求下列各题的极限：

1. [5分]

2. [5分]

3. [5分 ]

4. [5分 ]

二、 试解下列各题：

1. [5分] 设 ，

2. [5分] 设 f (x) = x (x – 1) ( x – 2) … (x – 100) ，

3. [5分] 设

4. [5分] 设

三、 求下列函数的微分d y

1. [5分] y = ( 1 + x² ) ^{si n x ,}

2. [5分] ,

四、 [10分] 设f (x ) = 3 ^{| a –x |} ,

五、 [10分] y = f ( sin²x ) + f ( cos²x )

六、 [10分] 设曲线方程为 x³ + y³ + ( x + 1) cos(p y) + 9 = 0 此曲线在横坐标为 x = - 1 的点处的切线方程为：

法线方程为：

七、 [10分] 设f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导，且导函数f ’ (x ) 在 ( a , b ) 内有界。证明函数f ( x )在( a , b ) 内有界。

证明：∵在(a,b)内有界，∴对任意的x∈(a,b)有M>0使≤M，设x₀为(a,b)内某一定点，在x₀与x之间拉氏定理有：||从而有 即f(x)在(a,b)上有界。 证毕。

八、 [10分] 证明：当 x > 0 时，

证明：令f(x)=ln(1+x) ( x > 0 ),其在[ 0, x ]上连续, 在( 0,x )上可导, 由拉氏定理存在ξ满足

即