第一学期高数试题(二)解答

一、试解下列各题：(每题7分)

1.

2.

3.

4.

二、试解下列各题：(每题5分)

1. 。

2. .

3.

4. y=x-ln(1+x²)在(-∞，+∞)连续，当x≠1时恒有，仅当x=1时y’=0故y在(-∞，+∞)单增。

5.

三、试解下列各题：(每题6分)

1.

2.

3. 函数f (x) = sin(x)是初等函数，在有定义的区间[0,π/2]上连续，在（0,π/2）上可导，f’(x) = cosx故f (x) 在[0,π/2]上满足拉格朗日中值定理的条件。

考虑f’(ξ) 即cosξ=2/π，ξ=arccos2/π

由于 0<2/π<1, 所以0 <ξ<π/2 故在（0,π/2）内至少存在一点ξ=arccos2/π，使

，这就验证了拉格朗日中值定理的正确性。

4.

四、[7分] 证明：

证明：在x∈[1,]时，故

证毕。

五、[8分]

六、[8分] y’=3x²+2ax+b y ”=6x+2a 由y’(0)=b=0, y”(1)=2a+b=0, y(0)=c=1 解得：a=-3,b=0,c=1;于是y=x³-3x²+1 y’=3x²-6x=3x(x-2) 令y’=0解得驻点：x₁=0,x₂=2 . y”=6x-6 y”(2)=12-6=6>0 故x₂=2是极小值点， 极小值为y(2)=-3.