线性代数中期试题解答(05)

一、填空题：（5×10分）

1. 行列式：

2. K满足什么条件K＝－1,　4时，方程组有非零解。

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

二、计算题（10×4分）

1. 计算n阶行列式

2.

解1：

解2：

3. 求向量组：

的秩与极大线性无关组。

解：

4.

解1：

解2：由|A| = 1得 由(A E)®(E A^-1) 得，

而的所有元素之和为1，即为|A|中的所有元素的代数余子式之和。

三、证明题（10分）

1． 已知B为n阶方阵，B²＝B，求证A＝E＋B可逆。

证明1：由B²－B = 0 有B²－B －2E=－2E

(B+E) (B－2E)= －2E

即(B+E) (E－B/2)= E 故A＝E＋B可逆。

2． 向量组{a₁，a₂，a₃}线性无关，而向量组{a₁，a₂，a₃，a₄}线性相关，{a₁，a₂，a₃，a₅}线性无关，问：a₄＋a₅能否由{a₁，a₂，a₃}线性表示？并证明你的结论。

答：否。若不然，设：

与{a₁，a₂，a₃，a₅}线性无关矛盾。