高等代数试题1

一、(8分)求下列行列式的值：

D=

二、（10分）已知矩阵A=,求及A^-1。

三、（12分）已知矩阵A=，B=

1、 求解矩阵方程：AX=B；

2、 求A²-B；

四、（12分）求线性方程组 的通解，并求对应齐次线性方程组的解空间的维数。

五、（18分）已知二次型 f=4x₁²+3x₂²+3x₃²+2x₂x₃

1、 求二次型f对应的矩阵A；

2、 求正交矩阵T，使T^-1AT为对角形；

3、 用正交变换将二次型化为标准形（要求写出所用的变换）；

4、 求二次型的秩r及正惯性指数p；

六、（10分）设P[x]₃表示由次数小于3的多项式添加零多项式构成的数域P上的线形空间。定义变换D（f（x））=f^ˊ（x）。

1、 验证D是线形变换；

2、 D在基1，1+x，1+x +下的矩阵D。

七、（12分）已知向量组 及 ，求由它们生成的子空间L（a₁，a₂）及L（b₁，b₂）的交与和的基与维数。

八、（10）已知A与B均为n阶正交矩阵。试证明：

1、 AB也为正交矩阵；

2、 =1。

九、（8分）设A是n维实对称矩阵，且A³=A。证明存在正交矩阵T，使T^-1AT=