高等代数试题2

一、(12)求下列行列式的值:

  1                   2   

二、12分)解矩阵方程:X =

三、12分)求线性方程组  的通解。

四、8分)证明:如果向量组a1,a2,…,ar线性无关,而a,a2,…,ar,b线性相关,则向量b可以由a1,a2,…,ar线性表出。

五、12分)已知二次型 f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3

1、  求二次型f对应的矩阵A

2、  用配方法化二次型为标准形;

3、  写出所用的满秩变换矩阵;

六、10分)在P4中,求由向量   生成的子空间的基与维数。

七、(16分)求正交矩阵T使T-1AT为对角阵,其中A=是实的对称阵。

八、(10分)设三维线性空间V上的线性变换A在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为A= A在基ε3,ε2,ε1下的矩阵。

九、(8分)设ε1,ε2,ε3是三维欧氏空间中一组标准正交基,

证明:a1=(2ε1+2ε2–ε3)      a2=(2ε1-ε2+2ε3), a3=(ε1-2ε2-2ε3)也是一组标准正交基。