高等代数试题2

一、(12分)求下列行列式的值：

1、 2、

二、（12分）解矩阵方程：X =

三、（12分）求线性方程组 的通解。

四、（8分）证明：如果向量组a₁,a₂,…,a_r线性无关，而a_１,a₂,…,a_r,b线性相关，则向量b可以由a₁,a₂,…,a_r线性表出。

五、（12分）已知二次型 f=x₁²+2x₂²+5x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+6x₂x₃

1、 求二次型f对应的矩阵A；

2、 用配方法化二次型为标准形；

3、 写出所用的满秩变换矩阵；

六、（10分）在P⁴中，求由向量 生成的子空间的基与维数。

七、（16分）求正交矩阵T使T^-1AT为对角阵，其中Ａ＝是实的对称阵。

八、（10分）设三维线性空间V上的线性变换A在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为A=， 求A在基ε₃，ε₂，ε₁下的矩阵。

九、（8分）设ε₁，ε₂，ε₃是三维欧氏空间中一组标准正交基，

证明：a₁=(2ε₁+2ε₂–ε₃)， a₂=(2ε₁-ε₂+2ε₃), a₃=(ε₁-2ε₂-2ε₃)也是一组标准正交基。