数学四模拟试题(一)

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设存在，则 .

（2）设是常数，，若，则 .

(3) 设 则= .

(4) 设A是4×3矩阵，B=, 且R(A)=2，R(AB-A)=1, 则t= .

(5) 设A为三阶矩阵,已知Ax=0有非零解,且A满足行列式,则行列式 .

(6) 设随机变量X与Y都服从正态分布且，则

.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）已知f(x)= ，则f(x)在点x=0处

（A）极限不存在. (B) 不连续.

(C) 不可导. (D) 可导. [ ]

（2）设f(x)是区域D:上的连续函数，则等于

(A) . (B)

(C). (D) [ ]

(3) 如果函数f(x,y)在区域D内有二阶偏导数,则

(A) f(x,y)在D 内可微. (B) 一阶偏导数连续.

(C) (D) 以上三个结论均不成立. [ ]

(4) 下列命题中正确的是

（A） n阶矩阵A、B等价的必要条件是A、B的列向量组等价.

（B） n阶矩阵A、B等价的充分条件是Ax=0与Bx=0同解.

（C） n阶矩阵A、B相似的充要条件是A,B具有相同的特征值.

（D） n阶矩阵A、B相似的充要条件是特征多项式相同. [ ]

(5) 已知P(B)>0, , 则下列各式不正确的是

(A) (B)

(C) (D) [ ]

(6) 设随机变量X与Y相互独立、均服从正态分布，且概率，则

(A) a=2,b=1. (B) a=1,b=2.

(C) a=-2,b=1. (D) a=1,b=-2. [ ]

三、（本题满分8分）

已知,求f(x).

四、（本题满分8分）

设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且 ，又已知，求与的值.

五、（本题满分8分）

计算 ，其中n为正整数，

六、（本题满分8分）

已知f(x)在[0, +∞]有二阶连续导数，且 若对，函数u(x)表示曲线y=f(x)在切点(x, f(x))处的切线在x轴上的截距，求

七、（本题满分9分）

设f(x)满足 , 其中D是以(-1, -1), (1, -1)和(1,1)为顶点的三角形区域，且f(1)=0,求

八、（本题满分9分）

设f(x)在[0 ,1]上连续，

（1）证明至少存在一个 使得 ；

（2）若f(x)为可导函数且满足 ，证明是唯一的.

九、（本题满分13分）

设n阶方阵A的n个列向量为,n阶方阵B的n个列向量为,, 试问:当r(A)=n时,线性方程组Bx=0是否有非零解,并说明理由.

十（本题满分13分）

设n阶方阵A,但对某个正整数k, 有. 证明:

(1) (2)A不可能与对角矩阵相似.

十一（本题满分13分）

设随机变量X和Y独立，均服从相同的（0—1）分布：

又设

求p(0<p<1)为何值时能使Z和X相互独立。

十二（本题满分13分）

某集邮爱好者有一珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为元，如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为，其中为随机变量，服从正态分布，假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，试求收藏多少年后售出可使总收入的期望现值最大. 并求r=0.06时的t值.