数学四模拟试题(一)参考答案
一、填空题
（1）答案 
[解] 
（2）答案
[解] 由
两边对x求导，得
（3）答案
[解] 由行列式的定义知，含有
的项只有
，故
应填-36.
（4）答案2
[解] 由题设应有矩阵B-E不可逆，于是
(5) 答案 1
[解] 由已知Ax=0有非零解,且A满足行列式
,知A的三个特征值为
, 于是行列式
(6) 应填 
[解] 记
，则
=1
=
二、选择题
（1）答案C
[解] 因为
，
，于是有
，可见f(x)在x=0处连续. 而
，
故f(x)在点x=0处不可导，应选(C).
（2）答案 A
[解] 因为 
=
故(A)为正确选项.
(3) 答案 D
[解] 函数f(x,y)在区域D内有二阶偏导数,推不出其二阶偏导数连续,又不能得到f(x,y)在D内可微,更不能得到一阶偏导数连续. 故应选D.
(4) 答案 B.
[解] 矩阵
与
等价,但其列向量组不等价,排除(A); 若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(B),因此有A,B等价,故(B)正确. 注意(C),(D)均为必要而非充分条件,比如
与
的特征值和特征多项式相同,但A,B不相似.
(5) 答案C
[解] 因为
,而右端显然可以不为零,所以(C)不正确, 故选(C).
（6）答案 A
[解] 由题设知，aX-bY仍服从正态分布，且其数学期望为E[aX-bY]=aEX-bEY=a-b，可见当a-b=1时，有
, 对比四个选项知，只有(A)满足a-b=1，因此正确选项为(A).
三、[解]
令u=xt, 
, 原方程化为
方程两边关于x求导,得 
即 
四、[解]
由
，即 
，所以 
又 
对于极限 
，
（1）如果 0<
<1, 有 
，则 
，由洛必达法则 
，这与已知相矛盾.
(2) 如果 
>1 ，有 
，同理有 
0，矛盾.
所以 
=1.
于是 
=
=
所以 
五、[解]
1）
2）
六、[解]
由
，有 
点(x,f(x))处的切线方程是
令Y=0, 得切线在x轴上的截距为 
注意到
，于是
故 
=
=
七、[解]
由于 
，而D可分解为关于x和y轴对称的D1,D2，令
于是
,
解得 
故有 
，令x=1，得 
八、[证]
(1) 令
(由分部积分得到)，则 F(0)=F(1), 由罗尔定理，知存在
，使 
.
(2) 令 
，则
，
即严格单调增加，所以
必唯一.
注：本题属隐含问题，形式上用介值定理，实际上用微分中值定理.
九、[解]
当r(A)=n时, 
线性无关,设Bx=0,即
则 
于是有 
可见当n为偶数时, Bx=0有非零解: 
; 当n为奇数时,Bx=0只有零解.
十、[解]
(1) 设
,
为A的特征值, 则有 
,即
为
的特征值,但
,故
,即A的特征值只能为0.
而(A+E)x=Ax+Ex=
,可见A+E的特征值全为
, 故行列式
(2) 假设A能与对角阵相似.则有可逆阵P,使 
,其中
是由A的特征值构成的对角阵,即
=0, 从而可推出A=0,这与A
矛盾, 所以, A不能与对角阵相似.
十一、[解]
由X和Y独立，易知P{Z=0}=(1-p)2+p2, P{Z=1}=2p(1-p). 要使Z与X独立，必须
, i=0,1; j=0,1
即
解得p=1/2
十二、[解]
根据连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为
于是 
，
其中 
=
这里
于是
令 
当 r=0.06时，t=
.