数学三模拟试题（二）

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

(1) 设商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是=_____________.

(2) 已知数列满足差分方程,且,则=_______________.

(3) 设z=f(u,x,y),u=x,其中f具有连续的二阶偏导数,则=_________________.

(4) 已知二次型(可通过正交变换化成标准形,则ab=_____________.

(5)设A,B为两个随机事件,已知 ,则

P(A+B)= .

(6) 一射手对同一目标独立地进行4次射击,每次射击的命中率相同,如果至少命中1次的概率为, 用X表示该射手命中目标的次数,则数学期望= .

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

(1) 存在是存在的

(A) 充分必要条件. (B) 充分条件但非必要条件.

(C) 必要条件但非充分条件. (D) 既非充分条件又非必要条件. [ ]

(2) 设函数 ,则在点(0,0)处

(A) 连续,但偏导数不存在. (B) 偏导数存在但不连续.

(C) 连续且偏导数存在. (D) 不连续且偏导数不存在. [ ]

(3) 设,则收敛的充要条件是

(A) p>1. (B) p>2. (C) p>0. (D) p<0. [ ]

(4) 设n阶方阵A的两个特征值与所对应的特征向量分别为与,并且,则

(A) 是A的特征向量. (B) 是A的特征向量.

(C) 是A²的特征向量. (D) 不是A的特征向量. [ ]

(5) 设A,B为n阶矩阵，以下命题：①A与B等价；② A与B相似；③ A,B的行向量组等价；有

(A) ①②③. （B）②①③.

(C) ③②①. (D) 以上均不对. [ ]

(6) 设是两个随机事件,随机变量,,已知与不相关,则

(A) 与不一定独立. (B) 与一定独立.

(C) 与不一定独立. (D) 与一定不独立. [ ]

三、(本题满分8分)

研究极限的存在性.

四、(本题满分8分)

设n为自然数，求I=

五、(本题满分8分)

设在第一象限内有二阶连续的偏导数，且，

，试求f(x)的表达式.

六、(本题满分9分)

设函数f(x,y)在区域上有定义，f(0,0)=0，且在(0,0)处f(x,y)可微，求

七、(本题满分9分)

设函数f(x)在上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数且，证明收敛，而发散.

八、(本题满分8分)

求微分方程的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.

九、(本题满分13分)

(1) 设均是三维列向量，且线性无关，线性无关，证明存在非零向量，使得既可由线性表出，又可由线性表出.

(2) 当时，求所有既可由线性表出，又可由线性表出的向量.

十、(本题满分13分)

设是三阶实对称矩阵A的三个特征值，其对应的特征向量依次为

证明：(1) ,

(2) 把用线性表出，并求.

十一、(本题满分13分)

设（X，Y）服从上的均匀分布，试求的概率密度.

十二、(本题满分13分)

（1） 设，即X服从对数正态分布，验证；

（2） 设自(1)中的总体X中取一容量为n的简单随机样本，求E(X)的极大似然估计. 此处均未知.