数学三模拟试题（二）参考答案
一、填空题
(1) 答案 (10, 20
[解] 由需求弹性的定义知
, 根据题意
,得
,即P>10. 为了使Q
,应有P
20,所以P的取值范围为(10, 20
.
(2) 答案 
[解] 差分方程
的通解为
又由
知C=1,故
(3) 答案 
[解] 
,
=
(4) 答案 18
[解] 设前后二次型所对应矩阵为A=
与B=
,则A,B相似,于是有
a+3+3=1+2+5,
(5) 答案 0.58
[解] 由题有
,可见A,B独立,于是P(A)=
, P(B)=
, 故
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.58.
(6) 答案 8
[解] 设命中率为p,则X~B(4,p),由题设 
,于是有
,故
二 选择题
(1) 答案 C
[解] 若
存在,则易知
存在,故该极限存在是
存在的必要条件;但由f(x)=
在
不可导,而
存在,知该极限存在不是
存在的充分条件,故应选(C).
(2) 答案 B
[解] 取
,则
,可知f(x,y)在(0,0)不连续,排除(A) ,(C); 又
,知f(x,y)在(0,0)处偏导数存在. 故应选(B).
(3) 答案 C
[解] 
,
于是 
,因此
收敛的充要条件为
故选(C).
(4) 答案 C
[解] 直接验算得 
,故应选(C).
(5) 答案 D
[解] ②
①, 但反之不成立; ③
①,但反之也不成立; ②与③不能互推, 因此应选(D).
(6) 答案 B
[解] 
由题设
与
不相关,有
即
与
独立,故应选(B).
三、[解]
由于a<0, 故
于是
而 
=
所以 
不存在.
四、[解]
I=
=
五、[解]
令
，则
，
，
同理， 
由
即 
.
又
知，
代入
，得
故所求函数为 
六、[解]
原式=
（由积分中值定理）=
又由f(x,y)在(0,0)可微，知
=
于是，原式=
七、[证] 由
由f(x)在x=0的某个邻域内有一阶连续导数及
，知存在l>0,使在[0,l]上
，于是存在N>0，使当n>N时，
，而且
，
，可见交错级数
收敛，从而
收敛。
又 
，而
发散，从而
发散。
八、[解] 原方程可化为
，利用求解公式，得通解
旋转体体积：
由
由于
，意即
为唯一极小值点，也是最小值点，于是
九、[证] 四个三维向量
必线性相关，故知存在不全为零的
，使得
成立，即 
成立，其中
不全为零，（否则，由
，可推出
，这和
不全为零的矛盾）.
令 
，
则ξ即为所求. 得证存在非零向量
，使得
既可由
线性表出，又可由
线性表出.
(1) 由（1）知，
，
得 
.
将上式齐次方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵，得方程通解为
，所求向量为
，其中k为任意常数.
十、证 (1) 令
, 
（2）令
，
于是有 
，从而
=
十一、[解] （X，Y）的联合概率密度为
故Z的分布函数为 
1）当
时，
=
，
2）当
时， 
=
，
同理 3）当
时，
，
4）当
时， 
故 
十二、[解] 
=
此时
的密度函数为
似然函数为 
，取对数后对
求偏导，解似然方程组得
和
的极大似然估计量为
故E(X)的极大似然估计量为
.