数学三模拟试题（一）

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

(1) 设f (x)为连续函数，则 =______________.

(2) 设，则=_______________.

(3) _________________.

(4) 已知三阶方阵A相似于B，A的伴随矩阵有特征值2，-3，-6，

则|B - E|的最大值为_____________.

(5) 掷三颗骰子,已知所得3个点数都不一样,则有一点的概率为 .

(6) 设是取自正态分布的一个简单随机样本, 若服从t分布,则a= .

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

(1) 设函数f (x)在(-¥ , +¥)内连续，. 如果f (x)是单调增加

的偶函数，则F(x)是

(A) 单调增加 的偶函数. (B) 单调增加 的奇函数.

(C) 单调减少 的偶函数. (D) 单调减少 的奇函数. [ ]

(2) 设函数f (x)在x = 0的某邻域内有三阶连续导数，且当x ® 0时，f (x) - f (-x)是x的

三阶无穷小，则

(A) x = 0不是f (x)的驻点. (B) x = 0是f (x)的驻点，但不一定是极值点.

(C) x = 0是f (x)的极值点. (D) (0 , f(0))是曲线y = f (x)的拐点. [ ]

(3) 设f (x)是连续的正函数，在区间[0 , x](x > 0)上由曲线y = f (x)与x轴所围成的平面图形

绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为，绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积

为. 如果当x ®时，f (x)与x是等价无穷小，则当x ®时，

(A) 与是等价无穷小. (B) 与是同阶但不等价无穷小.

(C) 是比高价的无穷小. (D) 是比低价的无穷小. [ ]

(4) 设n阶方阵A = ()，B = ()，AB = ()，

记向量组I：，II：，III：.

如果向量组III线性相关，则

(A) 向量组I与II都线性相关. (B) 向量组I线性相关.

(C) 向量组II线性相关. (D) 向量组I与II至少有一个线性相关. [ ]

(5) 设A为n阶矩阵，则以下命题：1）Ax=0只有零解；2）Ax=b有唯一解；3）A可逆；4）A的行向量组线性无关；5）A无零特征值，等价的有

(A) 2个. （B）3个. （C）4个. (D) 5个. [ ]

(6) 设随机变量独立同分布，都服从正态分布N(1,1)，且服从分布，则k和n分别为

(A) k=1/4,n=1. (B) k=1/2,n=1. (C) k=1/4,n=4. (D) k=1/2,n=4. [ ]

三、(本题满分8分)

已知曲线y = f (x)在点(1 , 0)处的切线在y轴上的截距为-1，求极限.

四、(本题满分8分)

设，，求.

五、(本题满分8分)

证明 1）若f(x)在x=0处连续，且存在，则f(x)在x=0处可导；2）若函数f(x)在内可微，且，则

六、(本题满分9分)

设f(x)为偶函数，且满足

，

求f(x).

七、(本题满分8分)

将函数f(x)=xcosx-sinx展开为x的幂级数，并指明其收敛区间及计算级数

的值.

八、(本题满分9分)

设函数f(x)的导函数单调增加，证明：对b>a有

九、(本题满分13分)

设为四维列向量组，且线性无关，.

已知方程组有无穷多解，

(1) 求a的值；(2) 用基础解系表示该方程组的通解.

十、(本题满分13分)

设A是n阶实对称矩阵，满足，A的正惯性为r，负惯性指数0,

求行列式的值.

十一、(本题满分13分)

连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果，已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为；当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为，如果第一次试验成功和失败概率均为.

1) 设第n次试验成功的概率为，求；

2) 用X表示首次获得成功的试验次数，求数学期望EX.

十二、(本题满分13分)

设总体X的均值，方差均存在，为取自总体X的一个简单随机样本，为样本均值，证明与的相关系数