数学三模拟试题（一）参考答案

一、填空题

(1) 答案 -f(0).

[解]

=

(2) 答案.

[解] 令u = lnx，，，所以，f (x) = x ++ C.

令t = 2x，=.

(3) 答案 .

[解] 原式==.

(4) 答案 12.

[解] 由已知，|| == 36，A = |A|的特征值为，

当|A| = 6时，A的特征值为3，-2，-1，B - E的特征值为2，-3，-2，所以，|B - E| = 12；

当|A| = -6时，A的特征值为-3，2，1，B - E的特征值为-4，1，0，所以，|B - E| = 0；

因此，|B - E|的最大值为12.

(5) 答案 0.5

[解] A={所得三个点都不一样}, B={三个点中有一点}, 则所求概率为

或

(6) 答案

[解] 因为,

且 与独立,于是

二、选择题

(1) 答案(C).

[解] 令u = x - t，F(x) =，

所以，为奇函数，为偶函数，即F(x)为偶函数.

又，即F(x)单调减少.

因此，选(C).

(2) 答案 (B).

[解] 由已知得，

又

=，所以有，

因此，得到，而不能确定是否为零，故选(B).

(3) 答案 (B).

[解] 由已知，=，=，

所以，，故选(B).

(4) 答案 (D).

[解] 因为向量组III线性相关，所以，矩阵AB不可逆，即A与B至少有一个不可逆，

即向量组I与II至少有一个线性相关，所以，选(D).

(5) 答案 (D)

[解] 对于n阶矩阵A,有Ax=0只有零解Ax=b有唯一解A可逆A的行向量组线性无关A无零特征值，故5个命题是等价的, 应选(D).

(6) 答案 (A)

[解] 因为，

所以

三、[解]

曲线y = f (x)在点(1 , 0)处的切线方程为y = ，令x = 0，

得切线在y轴上的截距为-= -1，所以，= 1.

故 .

四、[解]

=

=

=

=.

五、[证]

1） 由=A,即f(x)在x=0处可导.

2）由于，故当x>M时，恒有又根据微分中值定理，，使 故当x>M时，

所以 充分大），从而

六、[解]

因 于是原方程可化为

由题设，为奇函数，有，并以x=0代入原方程得f(0)=1.

方程两边关于x求导得

其通解为

由f(0)=1, ,有，故f(x)=1.

七、[解]

由，知

故x=时，，即有

八、[证]

1） 设x>a，，

=，

其中 于是单调递减(x>a)，即，也即

令x=b即有

2） 同理，设

=

其中 于是单调递增(x>a)，即，也即

令x=b即有

九、[解]

由已知，得矩阵

的秩小于3，又线性无关，所以，矩阵不可逆，得a = 2.

方程组化为

()x = ()，因为线性无关，

所以，原方程组与方程组x =同解.

容易求得方程组x =的通解为.

十、[解]

由于A是n阶实对称矩阵，所以，A的特征值为实数，且A可对角化.

又，所以，A的特征值满足方程，即A的特征值为0或1，

又A的正惯性为r，负惯性指数0,所以，A的特征值为1(r重)和0(n - r重).

又由，得，= E + n A，

所以，的特征值为1 + n(r重)和1(n - r重)，

因此，行列式 .

十一、[解]

1）令 ={第k次试验成功}，，则

=

从而

2） ，当时，由题设

=

=

从而==

十二 [证]