数学(二)模拟试题二
一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上)
(1) 曲线
的斜渐近线是____________________.
(2) 不定积分
=__________________________.
(3) 设曲线
，则自原点到此曲线右边第一条垂直于x轴的
切线之间的弧长=______________.
(4) 设函数f (x)与g(x)可导，且有
= g(x)，
= f (x)，f (0) = 0，g(x) ¹ 0，
则函数
=___________________.
(5) 设
，
，则|B - E|
=_______________.
(6) 设A为三阶实对称矩阵，
是Ax = 0的解，
是
(A + E) x = 0的解，则常数a =________________.
二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 下列极限存在的是
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
. [ ]
(2) 设函数f (x)在x = 0的某邻域内有三阶连续导数，且当x ® 0时，f (x) - f (-x)是x的
三阶无穷小，则
(A) x = 0是f (x)的驻点，但不是极值点. (B) x = 0是f (x)的驻点且是极小值点.
(C) x = 0是f (x)的驻点且是极大值点.
(D) 如果x = 0不是f (x)的极值点，则(0 , f (0))是曲线y = f (x)的拐点. [ ]
(3) 设函数f (x)有n阶导数，且有2n个极值点，则方程
至少有
(A) n - 1个实根. (B) n个实根.
(C) n + 1个实根. (D) n + 2个实根. [ ]
(4) 设f (x)为连续的偶函数，且
，令
，则
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
.
[ ]
(5) 设f (x)在x = 0的某邻域内有连续的四阶导数，且当x ¹ 0时，f (x) ¹ 0，又
在x = 0处连续，则
(A)
. (B)
. (C) 
. (D) 
. [ ]
(6) 设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax = 0与Bx = 0有相同的基础解系
，
则在下列方程组中以
为基础解系的是
(A) (A + B)x = 0. (B) ABx = 0.
(C)
BAx = 0. (D)
. [ ]
三、(本题满分9分)
设f (x)在[-p , p]上连续，且
，求f (x).
四、(本题满分9分)
试确定常数a，b，c的值，使极限
存在，并求该极限值.
五、(本题满分10分)
设函数f
(x)满足方程
，且由曲线y = f (x)，直线x
= 1与x轴
所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，求D的面积.
六、(本题满分11分)
位于上半平面向上凹的曲线y = y(x)在点(0 , 1)处的切线斜率为0，在点(2 , 2)处的切线
斜率为1. 已知曲线上任一点处的曲率半径与
及
的乘积成正比.
求该曲线方程.
七、(本题满分10分)
设y = f (x)是在[0 , +¥)上可导的正函数，且满足
，求f (x).
八、(本题满分9分)
证明：当0 < x < 1时，
.
九、(本题满分12分)
设有一质量为M，长为l的均匀杆AB，一质量为m的质点C位于杆AB的中垂线上，
且与AB的距离为a.
(1) 求杆AB对质点C的引力.
(2) 当质点C在杆AB的中垂线上从C点移向无穷远处时，求克服引力所作的功.
十、(本题满分11分)
设函数f (x)在[0 , 1]上二阶可导，f (0) = f (1) = 0，且f (x)在[0 , 1]上的最小值为-1，
证明：至少存在x Î (0 , 1)，使
.
十一、(本题满分10分)
设
b为4维非零列向量，A = (
). 已知方程组Ax = b的
通解是
，其中k为任意实数.
(1) 问b能否由
线性表示？ (2)
求向量组
b的一个极大无关组.
十二、(本题满分11分)
已知矩阵A =
有重特征值(常数a < 0)，
(1) 求a的值； (2)
求可逆矩阵P，使
为对角矩阵.