十、[解] 由已知，存在c Î(0 , 1)，使得f (c) = -1是f (x)在[0 , 1]上的最小值，即为极小值，

所以. 由泰勒公式得

f (0) = f (c) +(0 - c) +，Î(0 , c)

f (1) = f (c) +(1 - c) +，Î(c , 1)

得，.

(1) 当c £ 时，有³ 8；

(2) 当c > 时，有³ 8.

所以，至少存在x Î (0 , 1)，使.

十一、[解] 由已知，齐次方程组Ax = 0的基础解系为，所以，A的秩为3.

(1) 设b可由线性表示，即存在，使得

b =，即是方程组Ax = b的解，

又也是方程组Ax = b的解，所以，两解之差是

方程组Ax = 0的解，因此，可由基础解系表示，

但向量与是线性无关的，出现矛盾，

所以，b不能由线性表示.

(2) 因为方程组Ax = b有解，因此，向量组b的秩等于

向量组的秩等于A的秩等于3.

又为方程组Ax = 0的解，即有，所以，

向量可由线性表示，即可由线性表示. 又是

方程组Ax = b的解，即向量b可由线性表示. 所以，向量组b

与等价，得的秩为3，即向量组线性无关，

所以，是向量组b的一个极大无关组.

十二、[解]

(1) 由

=

= (l - a - 4)( l - a + 2) (l + a - 2) = 0，得A的特征值为a + 4，a - 2，2 - a.

已知A有重特征值及a < 0，得a = -1，且A的特征值为3，3，-3.

(2) 易求得A的特征值为3的线性无关特征向量为，

A的特征值为-3的特征向量为.

令P =，有=.