数学(二)模拟试题一

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)

(1) 极限=_____________.

(2) 星形线在点(,)处的曲率半径为___________.

(3) 积分=______________.

(4) 微分方程的通解是__________________________.

(5) A =,则=_______________.

(6) 设三阶实对称矩阵A有三个不同的特征值所对应的特征向量分别为

       ,则所对应的特征向量=________________.

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24. 在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 已知x = 0是函数是的可去间断点,则常数a , b的取值范围是

       (A) a = 1b为任意实数.                  (B) a ¹ 1b为任意实数.

(C) b = -1a为任意实数.                (D) b ¹ -1a为任意实数.                  [    ]

(2) 设函数f (x)x = 0处可导,则函数f (|x|)x = 0处可导的充要条件是

       (A) f (0) = 0.                                 (B)= 0.

(C) f (0) = 0= 0.              (D) f (0)的取值无关.       [    ]

(3) 设函数f (x)是在(-¥ , +¥)内连续的单调增加的奇函数,.

F(x)

       (A) 单调增加 的非奇非偶函数.          (B) 单调减少的非奇非偶函数.

       (C) 单调增加 的奇函数.                    (D) 单调减少       的奇函数.               [    ]

(4) 设函数f (x)g(x)[a , b]上连续且都大于零,则在区间[a , b]上由曲线y = f (x)y = g(x)

所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为

       (A) .           (B) .

       (C) .            (D) .          [    ]

 

(5) 对于广义积分,下列结论正确的是

       (A) p > 1时,收敛.                      (B) p < 1时,收敛.

       (C) p取任意实数都收敛.                   (D) p取任意实数都发散.             [    ]

(6) n阶方阵

记向量组IIIIII. 如果向量组III

线性相关,则

       (A) 向量组I线性相关.                            (B) 向量组II线性相关.

       (C) 向量组III都线性相关.          (D) 向量组III至少有一个线性相关. [    ]

三、(本题满分8)

       .

四、(本题满分9)

       f (x)有连续导数,且,当f (0)取何值时,f (0)f (x)的极值?

并说明它是极大值还是极小值.

五、(本题满分10)

       f (x)(-¥ , + ¥)上有定义,,且对" x , y Î (-¥ , + ¥)

f (x + y) = f (x) + af (y),求常数af (x).

六、(本题满分11)

       f (x)[0 , 1]上可微,且f (0) = 0.

证明:.

七、(本题满分11)

       有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线,P(x , y)为曲线上的任一点. 设曲线

在原点与P点之间的弧长为,曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的

长度为,已知,求该曲线方程.

八、(本题满分11)

       已知当x > 0时,方程只有一个实根,求常数a的取值范围.

 

 

 

九、(本题满分9)

       设一底半径为r,高为h的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分,右半部分

盛满水. 若把右半部分的水抽到左半部分,使容器左半部分的水的体积是右半部分的七倍,

求抽掉右边那部分水所需作的功.

十、(本题满分11)

       f (x)[0 , 1]上可导,且f (1) = 0

证明:至少存在x Î (0 , 1),使.

十一、(本题满分10)

       讨论并求方程组的解,其中a , b为常数.

十二、(本题满分12)

       已知2维非零向量x不是2阶方阵A的特征向量.

(1) 证明:xAx线性无关.

(2) ,求A的特征值并讨论A可否相似对角化.