九、[解] 以圆锥形容器的顶为原点，中心轴为x轴，开口方向为x轴正向建立坐标轴.

设抽掉水后右半部分水面的高度为a，由已知，右半部分水的体积是总体积的，

即有，得a =.

在[a , h]上任取区间[x , x + Dx]，抽出这部分水克服重力所作的功的微元为

dW =，其中r为水的比重.

所以，抽掉右边那部分水所需作的功W =.

十、[解] 由， 得.

令F(x) =，有F(0) = 0，F(1) = -1，= f (1) = 0.

由泰勒公式，得

F(0) = F(1) +(0 - 1) +，其中x Î (0 , 1)

即. 又，所以，

至少存在x Î (0 , 1)，使.

十一、[解] 将方程组改写为

，对增广矩阵作行初等变换如下：

，所以

(1) 当a ¹ - 1，b ¹ -2时，方程组有唯一解，

，，.

(2) 当a = - 1，b ¹ -1时，方程组无解.

(3) 当a = - 1，b = -1时，方程组有无穷多解：.

(4) 当a ¹ 1，b = -2时，方程组无解.

(5) 当a = 1，b = -2时，方程组有无穷多解：

十二、[解]

(1) 设x，Ax线性相关，即存在不全为零的，使得，

如果= 0，由于x ¹ 0，得= 0，所以¹ 0，且有，

即x是A的特征向量，出现矛盾，所以，x，Ax线性无关.

(2) 由得(A + 3I)(A - 2I)x = 0，由于x ¹ 0，所以

矩阵(A + 3I)(A - 2I)不可逆.

如果矩阵(A + 3I)可逆，则有(A - 2I)x = 0，即Ax - 2x = 0，与x，Ax线性无关

相矛盾，所以矩阵(A + 3I)不可逆，同理，矩阵(A - 2I)也不可逆.

所以有| A + 3I| = 0，| A - 2I| = 0，即2，-3是矩阵A的特征值，

因为A有2个不同的特征值，所以，A可相似对角化.