九、[] 以圆锥形容器的顶为原点,中心轴为x轴,开口方向为x轴正向建立坐标轴.

       设抽掉水后右半部分水面的高度为a,由已知,右半部分水的体积是总体积的

       即有,得a =.

       [a , h]上任取区间[x , x + Dx],抽出这部分水克服重力所作的功的微元为

       dW =,其中r为水的比重.

       所以,抽掉右边那部分水所需作的功W =.

十、[] .

       F(x) =,有F(0) = 0F(1) = -1= f (1) = 0.

       由泰勒公式,得

       F(0) = F(1) +(0 - 1) +,其中x Î (0 , 1)

       . ,所以,

       至少存在x Î (0 , 1),使.

十一、[] 将方程组改写为

,对增广矩阵作行初等变换如下:

,所以

(1) a ¹ - 1b ¹ -2时,方程组有唯一解,

       .

(2) a = - 1b ¹ -1时,方程组无解.

(3) a = - 1b = -1时,方程组有无穷多解:.

(4) a ¹ 1b = -2时,方程组无解.

(5) a = 1b = -2时,方程组有无穷多解:

 

十二、[]

       (1) xAx线性相关,即存在不全为零的,使得

              如果= 0,由于x ¹ 0,得= 0,所以¹ 0,且有

              xA的特征向量,出现矛盾,所以,xAx线性无关.

       (2) (A + 3I)(A - 2I)x = 0,由于x ¹ 0,所以

              矩阵(A + 3I)(A - 2I)不可逆.

              如果矩阵(A + 3I)可逆,则有(A - 2I)x = 0,即Ax - 2x = 0,与xAx线性无关

              相矛盾,所以矩阵(A + 3I)不可逆,同理,矩阵(A - 2I)也不可逆.

              所以有| A + 3I| = 0| A - 2I| = 0,即2-3是矩阵A的特征值,

              因为A2个不同的特征值,所以,A可相似对角化.