三、[解] 
=
=
.
四、[解] 由
，得
，
又
=
，
所以，极限
存在且为
.
得到f
(0) +
= 0，
+
= 1. 如果f (0)是f (x)的极值，则
= 0，
即f
(0) = 0，此时
= 1，所以，当f (0) = 0时，f (0)是f (x)的极小值.
五、[解] 令x = y = 0，得f (0) = f (0) + a f (0)，即a f (0) = 0.
(1)
如a = 0，f (x + y) = 
f (x)，
=
=
，得f (x) = C
，又
，得C = 1，即f (x) = 
.
(2)
如a ¹ 0，则f (0) = 0，f (x + y) = 
f (x) + a
f (y)，
此时
=
= f (x) + a
= f (x) + a
，即
= f (x) + a
，又
，得a = 1，
所以，
= f (x) +
，解得f (x) = x
.
因此，当a = 0时，f (x) = 
；当a = 1时，f (x) = x
.
六、[解] 令F(x) =
，即证明F(1) > 0.
.
由于
> 0，即f (x)单调增加，所以，当x > 0时，f (x) > f (0) = 0.
令g(x)
=
，由于
，因此，
= 2 f (x) - 2 f (x)
= 2 f (x)[1 -
] > 0 (x > 0)，即g(x)单调增加，
即当x > 0时，g (x) > g (0) = 0.
所以，当x
> 0时，
> 0，即F(x)单调增加，因此，F(1) > F(0) = 0，
即原不等式成立.
七、[解] 设所求曲线方程为y = y(x)，有y(0)
= 0，
.
=
，曲线在P点处的切线为Y - y = 
(X - x)，令X =
0，
得切线跟y轴的交点为(0 , y -x
)，所以
=
.
由
，得3
+ 2 = 2(x + 1)
，
两边求导并整理得2(x + 1)
= 1 +
，令P =
，得
，
两边积分得
= C(1 + x)，即1 +
= C(1 + x)，代入
，得
= x，
= 
，y =
+ C，代入y(0) = 0，得y =
.
八、[解] 方程
与
lnx - a
= 0等价，设f (x) =
lnx - a，
令
，得x =
，所以(0 ,
)与(
, +¥)是f (x)的单调区间.
由于
，
=
，
，所以由零点定理及单调性，有
(1) 当
> 0且- a < 0，即0 < a <
时，方程f (x) = 0在区间(0 ,
)与(
, +¥)内
各有一个根.
(2) 当
> 0且- a ³ 0，即a £ 0时，方程f (x) = 0在区间(0 ,
)内有一个根.
(3) 当
< 0且- a £ 0，即a
>
时，方程f (x) = 0无根.
(4) 当
= 0时，即a =
时，方程f (x) = 0有一个根x
=
.
所以，a的取值范围为a =
或a £ 0.