数学一模拟试题（二）参考答案

一、填空题

（1） 答案 e

[解] ,

于是 =

（2） 答案

[解] 对应齐次方程的特征方程为，特征值为，通解为

由，知，代入上式得，故所求特解为

（3） 答案

[解] 由格林公式，得

=

=

（4） 答案

[解] 设为A的另一特征值。则由A~B知，，且，可见，从而A,B有相同的特征值，.

于是有 ，

故

（5） 答案 1/2

[解] 由题设，，于是

+

（6） 答案 40

[解] , 得n³40.

二、 选择题

（1） 答案 A

[解]

于是有 ，故应选(A).

(2) 答案C

[解] 注意 而 故应选(C).

（3） 答案 C.

[解] 由，有，于是 ，可见在点x=0的左右两侧 变号，因此(0, f(0))为曲线y=f(x)的拐点.

(4) 答案 C

[解] 根据，，知(A),(B)正确; 而是单根，应此(0E-A)x=-Ax=0只有一个线性无关的解向量，既Ax=0的基础解系只由一个线性无关解向量构成，(D)也正确. 特征向量的正交性是实对称矩阵所具有的性质，一般矩阵并不成立，因此应选(C).

(5) 答案 B

[解] 由题设，A的特征值满足，又根据正负惯性指数均为1知， 于是有2E+A的特征值全大于零，可见2E+A为正定矩阵，而(A),(C),(D)均不成立，故应选(B).

(6) 答案C

[解] 因为独立同分布，，所以，由的可加性知故选(C).

三、[解] ，

，

，

，

故

四、[证] 由lnx=ln[1+(x-1)]=(x-1)-,得

=

=

=

又设，故在（1，2）内单调增加，有 故

五、[证] 令, 则

于是

=

=，

因f(x,y)在单位圆的边界上取值为零，故，再利用定积分的中值定理，可知 ，

故=

六、[解] 记，其中

=

由于，当时，，任取r>0充分小，记为圆周，并取顺时针方向，则，故

取

=

因I与r无关，令，故得 I=

七、[解] 采用柱面坐标系，则

，

于是 .

=

八、[解] 在单位时间内流向曲面外侧的流体的质量即流量，记为，则

添加曲面取上侧的曲面积分，由和组成封闭曲面，且积分是在该封闭曲面的外侧进行，由高斯公式得：

所以

=，其中

故

=

负号应解释为在单位时间内流入曲面的流体的质量为

九 [解] 由题设知: r(A)=2,且有,

,

于是有 可见线性无关,秩

r(B)=2, 且为By=的特解,又由知为By=0的非零解,可作为基础解系,故By=的通解为,其中k为任意常数.

十、[解] (1) 由r(A)+r(B)<n, 知r(A)<n, r(B)<n, 因此有,故为A,B相同的特征值.

(2)设r(A)=s,r(B)=t, Ax=0的基础解系为, Bx=0的基础解,由于(n-s)+(n-t)>n, 故向量组,必线性相关.

(3) 由,线性相关知,存在不全为零的使 ,

令,则(否则全为零)为A,B属于特征值的公共特征向量.

十一、 [解] 设为在[0，1]中任取的第i个点的坐标，i=1,2,…n. 则独立同服从[0,1]上的均匀分布，其分布函数为

令 ，，则最远两点的距离为，

于是

因为

于是 ，

从而 ，

故

十二、[解] 由于，则无偏性要求