数学一模拟试题（一）

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设, 且,则 .

（2）直线L:与平面的夹角= .

(3) 无穷级数= .

(4) 设A是正负惯性指数均为1的三阶实对称矩阵,且满足, 则行列式= .

(5) 已知随机事件A、B、C满足P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(C)=0.5,且A,B独立，A,C互不相容，则概率P(A-C= .

(6) 在总体N(1,4)中抽取一容量为5的简单随机样本，则概率

.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)、g(x)都是可导函数，且，则当x>a时，有

(A) (B)

(C) (D) [ ]

（2）设正项级数收敛，则级数

(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛.

(C) 发散. (D) 敛散性不能确定. [ ]

(3) 设L:, , 则

(A) . (B) .

(C) . (D) . [ ]

(4) 已知A、B为三阶矩阵，且有相同的特征值0，2，2，则下列命题：①A,B等价；② A,B相似；③ 若A,B为实对称矩阵，则A,B合同；④ 行列式,成立的有

(A) 1个 (B) 2个. (C) 3个. (D) 4个. [ ]

（5） 设随机变量相互独立且均服从正态分布，若概率，则

(A) . (B) .

(C) . (D) . [ ]

(6) 设X为随机变量，若矩阵A=的特征值全为实数的概率为0.5，则

(A) X服从区间[0，2]的均匀分布. (B) 服从二项分布B(2, 0.5).

(C) X服从参数为1的指数分布. (D) X服从正态分布. [ ]

三、（本题满分8分）

设存在，且，记，求在x=1某个邻域内的导数，并讨论在x=1处的连续性 .

四、（本题满分12分）

设函数 满足 , 且极限，试求函数f的表达式.

.

五、（本题满分12分）

设曲面是锥面与两球面,所围立体表面的外侧,计算曲面积分

其中f(u)是连续可微的奇函数.

六、（本题满分12分）

设 证明： 有

（1） f(x)+f(1-x)+lnx·ln(1-x)=C (常数)

（2） C = f(1)=

七、（本题满分12分）

设微分方程 （1）证明：若 1+P(x)+Q(x)=0 ,则方程有一特解 ；若 P(x)+xQ(x)=0，则方程有一特解 y=x.

(2) 根据上面的结论，求 的通解和满足初始条件的特解.

（3）求满足初始条件 的特解.

八、（本题满分10分）

设f(x)在[0，2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数，且，，求证：，使

九、（本题满分8分）

设与是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是矩阵)，是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：

（1） 向量组线性无关；

（2） 若秩r(A)=n-1，则向量组线性相关.

十（本题满分10分）

已知A、B为4阶矩阵，若满足AB+2B=0, r(B)=2,且行列式，（1）求A的特征值；（2）证明A可对角化；（3）计算行列式.

十一（本题满分9分）

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为

证明：X与Y不独立，但与独立.

十二（本题满分9分）

设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，θ未知（θ>0）,是取自X的一个样本

（1） 试证：, 都是θ的无偏估计

（2） 上述两个估计中哪个方差最小？