数学一模拟试题（一）参考答案

一、填空题

（1）应填

[解] 由，有 ，

两边取极限，得 ，

再两边积分得 .

又由y(0)=0, 有 C=0. 故

于是

=

[评注] 可直接由定积分的几何意义得

（2） 应填 0 .

[解] 由知，于是当时，.

故 =

=

(3) 答案 2e

[解] =

=

(4) 答案 -10

[解] 由知,A有特征值,又A的正负惯性指数均为1,因此其另一特征值必为 故行列式

=.

(5) 答案

[解]

=

(6) 答案

[解] 1-

=1-0.96875

二、选择题

（1） 应选 C.

[解] 由，有，于是 ，可见在点x=0的左右两侧 变号，因此(0, f(0))为曲线y=f(x)的拐点.

（2） 应选 B.

[解] 若无穷级数、均收敛，则，从而必有

. 应此若，则，至少有一发散. 正确答案为(B). 其余答案可举反例说明是不正确的.

（3） 答案 D

[解] 由对称性知，，，可排除(A),(B). 而应选(D). 注意

（4） 答案 C

[解] 由题设知A,B的秩相同，r(A)=r(B)=2, 因此A,B等价；若A,B为实对称矩阵，则其对应正负惯性指数相同，从而A,B合同；行列式=0. 但A,B不一定相似. 故选(C).

(5) 答案 B

[解] 由知，，于是必有 a-b=1，只有(B)项满足要求.

(6) 答案 A

[解] 由 ,而其特征值全为实数的概率 ，可见当X服从[0,2]上均匀分布时成立，故应选(A).

三、[解]

易知

=

在x=1处连续.

四、 [解] 设

积分两次得 ，即

又，从而有f(0)=0, ，将其代入f(x)表达式中，得

故试求函数f的表达式为

五、[解] 记所围区域为,则

原式=

=

f(u)为奇函数，为偶函数，于是

关于z=0对称

关于y=0对称

故 原式=

六、[证] （1） f(x)的收敛区间是[-1, 1], 有

已知

有 [f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)]ˊ=fˊ(x) - fˊ(1-x)

有f(x)+f(1-x)+lnx·ln(1-x)=C (常数)

（2） f(x)与f(1-x)在x=0右连续，f(0)=0, 故

七、[解] （1）直接验算即可.

(2) 将微分方程变形为

因为 1+P(x)+Q(x)=0 P(x)+xQ(x)=0，由（1）知 都是方程的特解，且常数，故通解为 . 由初始条件得 ，故所求特解为

(3) 的通解为 .

由知， y(0)-1=1,于是 . 从而

得 ，故所求特解为

八、[证] 由

=

又由

令

九、[解]

(1) 设，则

，即

进一步有 ，由于，可知必有 ，根据定义知，线性无关.

(2) 由于与均为Ax=0的非零解，且由秩r(A)=n-1知，，线性相关，即存在不全为零的数，使得

易知，否则，必有，这与不全为零矛盾，故

即可由线性表示，因此线性相关.

十、[解] （1）由知，A有特征值为.

令 ，根据r(B)=2，不妨设线性无关，由AB+2B=0，知,,因此是A的属于特征值（至少二重根）的特征向量，而4阶方阵已有两个特征值，可见必为二重根，故所求特征值为

，（二重）.

（2）设的特征向量分别为，则4阶方阵有4个线性无关的特征向量，必可对角化.

(3) 令，则，从而

，故行列式

已知A、B为4阶矩阵，若满足0, r(B)=2,且行列式，（1）求A的特征值；（2）证明A可对角化；（3）计算行列式.

十一、[证] 首先有

，

因为f(x,y),所以X,Y不独立.

而，