数学一模拟试题(一)参考答案

 

一、填空题

1)应填 

[]    ,有

两边取极限,得 

再两边积分得      .

     又由y(0)=0, C=0.   

于是 

               =

[评注] 可直接由定积分的几何意义得

2 应填 0 .

 [] 知,于是当时,.

  =

          =

   (3) 答案 2e

   [] =

             =

(4) 答案 -10

[] ,A有特征值,A的正负惯性指数均为1,因此其另一特征值必为  故行列式

=.

(5) 答案

[]

     =

(6) 答案

[] 1-

   =1-0.96875

二、选择题

1 应选 C.

[]  ,有,于是     ,可见在点x=0的左右两侧 变号,因此(0, f(0))为曲线y=f(x)的拐点.

2 应选 B.

[] 若无穷级数均收敛,则,从而必有

. 应此若,则至少有一发散. 正确答案为(B). 其余答案可举反例说明是不正确的.

3 答案  D

[]  由对称性知,,可排除(A),(B). 而应选(D). 注意

4 答案  C

[]  由题设知A,B的秩相同,r(A)=r(B)=2, 因此A,B等价;若A,B为实对称矩阵,则其对应正负惯性指数相同,从而A,B合同;行列式=0. A,B不一定相似. 故选(C).

(5) 答案  B

[]  知,,于是必有 a-b=1,只有(B)项满足要求.

(6) 答案  A

[]  ,而其特征值全为实数的概率  ,可见当X服从[0,2]上均匀分布时成立,故应选(A).

 

三、[]  

易知

       =

x=1处连续.

 

   四、 []  

   

积分两次得 ,即

,从而有f(0)=0, ,将其代入f(x)表达式中,得

故试求函数f的表达式为

 

五、[] 所围区域为,

原式=

    =

f(u)为奇函数,为偶函数,于是

 

*关于z=0对称

*关于y=0对称

  原式=

     

  六、[]  1 f(x)的收敛区间是[-1, 1], 

      

已知 

   [f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)]ˊ=fˊ(x) - fˊ(1-x)

  f(x)+f(1-x)+lnx·ln(1-x)=C  (常数)

(2)       f(x)f(1-x)x=0右连续,f(0)=0,

 

七、[解] (1)直接验算即可.

(2)   将微分方程变形为  

因为 1+P(x)+Q(x)=0 P(x)+xQ(x)=0,由(1)知 都是方程的特解,且常数,故通解为    . 由初始条件得 ,故所求特解为

(3)  的通解为 .

知, y(0)-1=1,于是  . 从而

,故所求特解为

八、[]

                          =

又由

  

 

九、[]  

(1)    ,则

,即

进一步有 ,由于,可知必有 ,根据定义知,线性无关.

(2) 由于均为Ax=0的非零解,且由秩r(A)=n-1知,线性相关,即存在不全为零的数,使得

  

易知,否则,必有,这与不全为零矛盾,故

       

可由线性表示,因此线性相关.

 

十、[]  1)由知,A有特征值为.

,根据r(B)=2,不妨设线性无关,由AB+2B=0,知,,因此是A的属于特征值(至少二重根)的特征向量,而4阶方阵已有两个特征值,可见必为二重根,故所求特征值为

(二重).

2)设的特征向量分别为,则4阶方阵有4个线性无关的特征向量,必可对角化.

(3)       ,则,从而

,故行列式

     

 

 

已知A、B为4阶矩阵,若满足0, r(B)=2,且行列式,(1)求A的特征值;(2)证明A可对角化;(3)计算行列式.

 

十一、[]  首先有

 

因为f(x,y),所以X,Y不独立.

   

的联合分布函数为

 

可见,对而言,有

       

相互独立.

 

 

十二、[] (1) F(x)X的分布函数,则

       

Y=

  

(2)        

DZ=