2003年考研数学（四）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）极限=    .

【分析】  本题属型未定式，化为指数函数求极限即可.

【详解】  =

           =

【评注】  对于型未定式的极限，也可直接用公式=进行计算，因此本题也可这样求解：

  =

【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第一大题第（1）小题.

 

（2）=   .

【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有

【详解】 =

                =

                =

                =

                =.

【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.

原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第（3）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第（2）小题.

（3）设a>0，而D表示全平面，则=    .

【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】  =

           =

【评注】  若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .

（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=,则

=   .

【分析】 应先化简，从AB=2A+B中确定.

【详解】  由AB=2A+B, 知

          AB-B=2A-2E+2E,

即有      ，

          ，  ，

可见      ==.

【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A-E，写成逆矩阵的定义形式，从而确定(A-E) 的逆矩阵.

完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.

 

（5）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵

         ， ，

其中A的逆矩阵为B，则a=    -1     .

【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】  由题设，有

         

              =

              =

              =

              =,

于是有  ，即  ，解得  由于A<0 ,故a=-1.

【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .

 

（6）设随机变量X 和Y的相关系数为0.5, EX=EY=0,, 则=      6       .

【分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可.

【详解】  因为

       =

                 =4+

                 =4+2

【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式，而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.

 

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）曲线

(A) 仅有水平渐近线.                (B) 仅有铅直渐近线.

(C) 既有铅直又有水平渐近线.        (D) 既有铅直又有斜渐近线.       [  D  ]

【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.

【详解】  当时，极限均不存在，故不存在水平渐近线；

          又因为 ，，所以有斜渐近线y=x.

另外，在 x=0 处无定义，且，可见 x=0为铅直渐近线.

故曲线既有铅直又有斜渐近线，应选(D).

【评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153 【例6.30-31】.

（2）设函数，其中在x=1处连续，则是f(x)在x=1处可导的

 (A) 充分必要条件.       （B）必要但非充分条件.

(C) 充分但非必要条件 .   (D) 既非充分也非必要条件.                 [  A  ]                                                     

【分析】  被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f(x)在x=1处左右导数定义讨论即可.

【详解】  因为

         ，

         ，

可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是  故应选(A).

【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理.一般地，函数在点处可导的充要条件是

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28 【例2.6】和《考研数学大串讲》P.19的公式.

（3）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是

 (A) 在处的导数等于零.  （B）在处的导数大于零.

(C)  在处的导数小于零.   (D) 在处的导数不存在.

                                                                    [  A  ]

【分析】  可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】  可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零, 故应选(A).

【评注1】 本题考查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即

【评注2】 本题也可用排除法分析，取，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).

（4）设矩阵

    .

已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于

(A)  2.        (B) 3.         (C) 4.           (D) 5.                 [  C  ]

【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E)之和.

【详解】 因为矩阵A相似于B，于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而

 秩(B-2E)=秩，秩(B-E)=秩，

可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C).

【评注】 若，则，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质. 见《数学复习指南》P.360相似矩阵及其性质.

（5）对于任意二事件A和B

(A)  若，则A,B一定独立.     (B)  若，则A,B有可能独立.

(C)  若，则A,B一定独立.     (D)  若，则A,B一定不独立.

                  [  B  ]

【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.

【详解】 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B一定独立，排除(A); 若，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确