2003年考研数学(一)真题评注

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24. 把答案填在题中横线上)

1  = .

分析 型未定式,化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.

详解1 =,

 

原式=

详解2 因为   

所以    原式=

评注 本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 1.30-31.

2 曲面与平面平行的切平面的方程是.

分析 待求平面的法矢量为,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.

详解 ,则

.

设切点坐标为,则切平面的法矢量为 ,其与已知平面平行,因此有

       

可解得   ,相应地有  

故所求的切平面方程为

    ,即 .

评注  本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.279 10.28】和

《数学题型集粹和练习题集》P.112 8.13.

3 ,则=     1      .

分析 展开为余弦级数,其系数计算公式为.

详解 根据余弦级数的定义,有

        

            =

            =

            =1.

评注  本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第(6)小题和《数学复习指南》P.240 8.37.

4的基到基的过渡矩阵为   .

分析 n维向量空间中,从基到基的过渡矩阵P满足

[]=[]P,因此过渡矩阵P为:P=[[.

详解】根据定义,从的基到基的过渡矩阵为

P=[[.

 =

评注 本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.429 3.35.

5设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

    

 .

分析 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率,一般可转化为二重积分=进行计算.

详解 由题设,有

 

              =

                 y

 

            1

            

                D

 

             O            1           x

 

评注 本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D,再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第(5)小题.

6已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 .

(:标准正态分布函数值

分析 已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据,由确定临界值可由线性表示,但线性无关,排除(B)可由线性表示,但线性无关,排除(C). 故正确选项为(D).

评注 本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案,若记不清楚,也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409 定理11.

5设有齐次线性方程组Ax=0Bx=0, 其中A,B均为矩阵,现有4个命题:

Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)(B)

若秩(A)(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;

Ax=0Bx=0同解,则秩(A)=(B)

若秩(A)=(B) Ax=0Bx=0同解.

以上命题中正确的是

(A)    .                      (B)    .

(C)    .                      (D)    .                   [  B  ]

分析 本题也可找反例用排除法进行分析,但  两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住 ,迅速排除不正确的选项.

详解 Ax=0Bx=0同解,则n-(A)=n - (B), 即秩(A)=(B),命题成立,可排除(A),(C);但反过来,若秩(A)=(B) 则不能推出Ax=0Bx=0同解,如,则秩(A)=(B)=1,但Ax=0Bx=0不同解,可见命题不成立,排除(D),故正确选项为(B).

评注 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题:

  齐次线性方程组Ax=0Bx=0同解的充要条件

(A)  r(A)=r(B).                          (B)  A,B为相似矩阵.

(C)  A, B的行向量组等价.               (D)  A,B的列向量组等价.       [  C  ]

有此例题为基础,相信考生能迅速找到答案.

6设随机变量,则

 (A)  .             (B) .

 (C) .              (D) .                      [  C  ]

分析 先由分布的定义知,其中,再将其代入,然后利用F分布的定义即可.

详解 由题设知,,其中,于是

=,这里,根据F分布的定义知故应选(C).

评注 本题综合考查了t分布、分布和F分布的概念,要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义, 见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.57第二大题第(6)小题(事实上完全相当于原题)和《数学复习指南》P.592的定义和P.595的【解题提示.

 

、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnxx轴围成平面图形D.

(1)    D的面积A;

(2)    D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.

分析 先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图.

详解 (1)  设切点的横坐标为,则曲线y=lnx在点处的切线方程是

                 

由该切线过原点知 ,从而 所以该切线的方程为

                

平面图形D的面积

      

2 切线x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为          

曲线y=lnxx轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为

       

因此所求旋转体的体积为

        

 


                        y

                    1

 

 


                           D

                       O     1     e         x

 

评注 本题不是求绕坐标轴旋转的体积,因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析,完全类似例题见《数学复习指南》P.197的【7.34,于是有

==.

代入原微分方程得

                                                    (  *  )

(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为

         

设方程( * )的特解为

      

代入方程( * ),求得,故,从而的通解是

         

,得. 故所求初值问题的解为

     

评注 本题的核心是第一步方程变换,完全类似例题见《数学复习指南》P.53的【2.8.

 

、(本题满分12分)

设函数f(x)连续且恒大于零,

  

其中

(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.

(2) 证明当t>0时,

分析 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分,再根据导函数的符号确定单调性;(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后,构造辅助函数,再用单调性进行证明即可.

详解 (1)  因为

    

   

所以在,故F(t) 内单调增加.

2

       

要证明t>0,只需证明t>0时,,即

        

   

    ,故g(t)内单调增加.

因为g(t)t=0处连续,所以当t>0时,有g(t)>g(0).

g(0)=0, 故当t>0时,g(t)>0,

因此,当t>0时,

评注 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了,但难点是证明(2)中的不等式,事实上,这里也可用柯西积分不等式证明:

        

在上式中取f(x)g(x)即可.

 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.1299.21】、【9.24】和《数学复习指南》P.305的【11.26.

 

、(本题满分10分)

设矩阵,求B+2E的特征值与特征向量,其中A的伴随矩阵,E3阶单位矩阵.

分析 可先求出,进而确定B+2E,再按通常方法确定其特征值和特征向量;或先求出A的特征值与特征向量,再相应地确定A*的特征值与特征向量,最终根据B+2EA*+2E相似求出其特征值与特征向量.

详解 方法一:

经计算可得

       

        =.

从而

       

B+2E的特征值为

时,解,得线性无关的特征向量为

       

所以属于特征值的所有特征向量为

        ,其中是不全为零的任意常数.

时,解,得线性无关的特征向量为

   

所以属于特征值的所有特征向量为,其中为任意常数.

方法二:设A的特征值为,对应特征向量为,即 . 由于,所以

 又因 ,故有

于是有  

        

因此,B+2E的特征值,对应的特征向量为

由于

A的特征值为

时,对应的线性无关特征向量可取为 

时,对应的一个特征向量为

,得.

因此,B+2E的三个特征值分别为993.

对应于特征值9的全部特征向量为

    ,其中是不全为零的任意常数;

对应于特征值3的全部特征向量为

    ,其中是不为零的任意常数.

评注 ,若A的特征值,对应特征向量为,则BA有相同的特征值,但对应特征向量不同,B对应特征值的特征向量为

本题计算量大,但方法思路都是常规和熟悉的,主要是考查考生的计算能力。不过利用相似矩阵有相同的特征值以及AA*的特征值之间的关系讨论,可适当降低计算量,这方面可参见类似例题《考研数学大串讲》P.2145】,《数学最后冲刺》P.1363.

 

、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

        

        

        .

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

分析 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.

详解 方法一:必要性

设三条直线交于一点,则线性方程组

                            (*)

有唯一解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,于是

由于

        =,

但根据题设 ,故

            

充分性:由,则从必要性的证明可知,,故秩

由于

       

               =

故秩(A)=2. 于是,

           秩(A)=秩=2.

    因此方程组(*)有唯一解,即三直线交于一点.

方法二:必要性

设三直线交于一点,则Ax=0的非零解,其中

       

于是  .

        

        =,

但根据题设 ,故

            

充分性:考虑线性方程组

                                     (*)

将方程组(*)的三个方程相加,并由a+b+c=0可知,方程组(*)等价于方程组

                                         (* *)

因为 

               =-,

故方程组(* *)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线交于一点.

评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算,进而转化为行列式的计算,综合考查了多个知识点.

完全类似例题见《数学最后冲刺》P.1965.

 

十一 、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1) 乙箱中次品件数的数学期望;

(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

分析 乙箱中可能的次品件数为0123,分别求出其概率,再按定义求数学期望即可;而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率,涉及到两次试验,是典型的用全概率公式的情形,第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组.

详解 (1) X的可能取值为0123X的概率分布为

         k=0,1,2,3.

            X       0       1        2        3

              P                      

因此

        

(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”,由于构成完备事件组,因此根据全概率公式,有

   

         =

         =

评注】本题对数学期望的计算也可用分解法:

 

       

的概率分布为

              0       1

     P                           

 因为,所以

    

完全类似例题见《考研数学大串讲》P.25620】,利用分解法求数字特征的思想见《数学题型集粹与练习题集》P.2803.18-21.

 

十二 、(本题满分8分)

设总体X的概率密度为

       

其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本,记

(1)    求总体X的分布函数F(x);

(2)    求统计量的分布函数

(3)    如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.

分析 求分布函数F(x)是基本题型;求统计量的分布函数,可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数,直接用定义即可;是否具有无偏性,只需检验是否成立.

详解 (1)

 

(2) 

        =

        =

        =

        =

(3) 概率密度为

      

因为  

           =

所以作为的估计量不具有无偏性.

评注】本题表面上是一数理统计问题,实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.

完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》试卷(七)第十二题(从题型到求解方法完全一致),《数学题型集粹与练习题集》P.2925.8,在文登学校辅导班上也介绍过几乎完全一致的例题(参加过辅导班的同学可查看笔记).

 

注: 1.《数学复习指南》 (2003版,理工类)世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开

2.《数学题型集粹与练习题集》(2003版,理工类)世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开

3.《文登数学全真模拟试卷》(2003版,理工类)世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开

4.《数学最后冲刺》(2003版,理工类)世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开

5.《考研数学大串讲》(2002版,理工类)世界图书出版公司

主编: 黄先开、曹显兵、施明存

 

(文登学校供稿)