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全国自学考试数学试卷-1


  

  一、填空题(每小题1分,共10分)
                       _________          1
   1.函数y=arcsin√1-x2    +  ──────  的定义域为_______________。
                                            _________
                                           √1- x2
 
   2.函数y=x+ex  上点( 0,1 )处的切线方程是______________。

                                                    f(Xo+2h)-f(Xo-3h)
   3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim ───────────────  =___。
                                            h→o                  h

  4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是___。

            x
  5.∫─────dx=_____________。
          1-x4

                        1
  6.lim Xsin─── =___________。
        x→∞           X

  7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。

                           _______
                R       √R2-x2
  8.累次积分∫ dx  ∫       f(X2 + Y2  )dy 化为极坐标下的累次积分为_______。
                0        0

                d3y     3    d2y
  9.微分方程─── + ──(─── )2  的阶数为____________。
                dx3     x    dx2

                ∞                  ∞
  10.设级数 ∑  an发散,则级数 ∑ an  _______________。
                n=1                n=1000

  二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题
1分,11~20每小题2分,共30分)

  (一)每小题1分,共10分

                         1
    1.设函数f(x)=──  ,g(x)=1-x,则f[g(x)]= ( )
                         x

              1                 1                1
      ①1- ──        ②1+ ──         ③ ────        ④x
              x                 x             1- x

                           1
    2.x→0 时,xsin──+1 是  ( )
                           x

      ①无穷大量         ②无穷小量          ③有界变量         ④无界变量

    3.下列说法正确的是  ( )

      ①若f( X )在 X=Xo连续,  则f( X )在X=Xo可导
      ②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续
      ③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在
      ④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导

    4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为( )

      ①上升的凸弧        ②下降的凸弧      ③上升的凹弧      ④下降的凹弧

     5.设F'(x)  =  G'(x),则 ( )

      ① F(X)+G(X) 为常数
      ② F(X)-G(X) 为常数
      ③ F(X)-G(X) =0
           d                     d
      ④ ──∫F(x)dx  = ──∫G(x)dx
         dx                   dx

           1
      6.∫ │x│dx  = ( )
          -1

       ① 0       ② 1       ③ 2       ④ 3

      7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( )

       ①平行于xoy面的平面
       ②平行于oz轴的平面
       ③过oz轴的平面
       ④直线

                                                  x
      8.设f(x,y)=x
3 + y3 + x2 ytg── ,则f(tx,ty)=  ( )
                                                  y

                                                                     1
       ①tf(x,y)    ②t2f(x,y)    ③t3f(x,y)  ④  ──f(x,y)
                                                                     t2

                                 an+1               ∞
      9.设an≥0,且lim  ───── =p,则级数 ∑an   ( )
                        n→∞      a                  n=1

       ①在p〉1时收敛,p〈1时发散
       ②在p≥1时收敛,p〈1时发散
       ③在p≤1时收敛,p〉1时发散
       ④在p〈1时收敛,p〉1时发散

     10.方程 y'+3xy=6x2y 是   ( )

       ①一阶线性非齐次微分方程
       ②齐次微分方程
       ③可分离变量的微分方程
       ④二阶微分方程

    (二)每小题2分,共20分

     11.下列函数中为偶函数的是   ( )

       ①y=ex          ②y=x3+1          ③y=x3cosx     ④y=ln│x│

     12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使 ( )

       ①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)
       ②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)
       ③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)
       ④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)

     13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的    ( )

       ①充分必要的条件
       ②必要非充分的条件
       ③必要且充分的条件
       ④既非必要又非充分的条件

                                 d
     14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2 ,则f(0)=1,则f(x)=    ( )
                                 dx

       ①cosx          ②2-cosx          ③1+sinx        ④1-sinx

     15.过点(1,2)且切线斜率为 4x3 的曲线方程为y=  ( )

        ①x4               ②x4+c               ③x4+1             ④x4-1

                   1    x
     16.lim ─── ∫ 3tgt2dt=  ( )
            x→0  x3   0

                                                       1
        ① 0               ② 1                   ③ ──               ④ ∞
                                                       3

                               xy
     17.lim xysin ─────  = ( )
            x→0              x2+y2
            y→0
 
         ① 0              ②  1                  ③  ∞                ④  sin1

     18.对微分方程 y"=f(y,y'),降阶的方法是   ( )

        ① 设y'=p,则 y"=p'
                                dp
        ② 设y'=p,则 y"= ───       
                                dy
                                 dp
        ③ 设y'=p,则 y"=p───
                                 dy
                               1    dp
        ④ 设y'=p,则 y"=──  ───
                               p    dy

                     ∞                                ∞
      19.设幂级数 ∑ ann在xo(xo≠0)收敛, 则 ∑ ann 在│x│〈│xo│ ( )
                    n=o                               n=o

        ①绝对收敛          ②条件收敛             ③发散            ④收敛性与an有关

                                                sinx
      20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=   ( )
                                            D       x

             1       1  sinx
         ① ∫ dx ∫ ───── dy
             0       x     x
                     __
             1     √y   sinx
         ② ∫ dy ∫  ─────dx
             0       y      x
                     __
             1     √x   sinx
         ③ ∫ dx ∫  ─────dy
             0       x      x
                     __
             1     √x   sinx
         ④ ∫ dy ∫  ─────dx
             0       x      x

  三、计算题(每小题5分,共45分)

                    ___________
                  / x-1
      1.设 y= / ──────      求  y'  。
                √   x(x+3)

                     sin(9x2-16)
      2.求 lim  ───────────  。
             x→4/3         3x-4

                      dx
      3.计算 ∫ ───────  。
                  (1+ex2

               t                                1                                dy
   4.设x= ∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求───  
               0                               t                                 dx

      5.求过点 A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。

                        ___
      6.设 u=ex+√y +sinz,求  du  。

                x  asinθ
      7.计算 ∫  ∫    rsinθdrdθ  。
                0   0
                               y+1
      8.求微分方程 dy=( ──── )2dx 通解  。
                               x+1

                                3
      9.将 f(x)= ───────── 展成的幂级数  。
                       (1-x)(2+x)

  四、应用和证明题(共15分)

  1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度( 比例常数为k〉0 )
求速度与时间的关系。

                                                     ___         1
  2.(7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x  〉3- ──  。
                                                                 x

 

  附:高等数学(一)参考答案和评分标准

  一、填空题(每小题1分,共10分)

    1.(-1,1)

    2.2x-y+1=0

    3.5A

    4.y=x2+1

         1
    5.──arctgx2+c
         2

    6.1

    7.ycos(xy)

       π/2     π
    8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr
         0       0

    9.三阶

    10.发散

  二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题
1分,11~20每小题2分,共30分)

  (一)每小题1分,共10分

     1.③          2.③          3.④          4.④          5.②

     6.②          7.②          8.⑤          9.④        10.③


  (二)每小题2分,共20分

   11.④        12.④        13.⑤        14.③        15.③

   16.②        17.①        18.③        19.①        20.②

三、计算题(每小题5分,共45分)

                      1
     1.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)]    (2分)
                      2
               1       1      1      1      1
              ──y'=──(────-──-────)      (2分)
               y       2    x-1    x    x+3
                           __________
                    1    / x-1        1      1      1
              y'=──  /──────(────-──-────)    (1分)
                    2 √  x(x+3)   x-1    x    x+3

                          18xcos(9x2-16)
     2.解:原式=lim ────────────────          (3分)
                  x→4/3                3
                    18(4/3)cos[9(4/3)2-16]
                = ────────────────────── =8    (2分)
                                      3

                      1+ex-ex
     3.解:原式=∫───────dx    (2分)
                      (1+ex2
                        dx        d(1+ex)
                 =∫─────-∫───────      (1分)
                      1+ex       (1+ex2
                      1+ex-ex             1
                 =∫───────dx + ─────      (1分)
                        1+ex             1+ex
                                             1
                 =x-ln(1+ex)+ ───── + c      (1分)
                                          1+ex

  4.解:因为dx=(cost)arctgtdt,
             dy=-(sint)arctgtdt(3分)
                    dy      -(sint)arctgtdt
              所以 ─── = ──────────────── = -tgt    (2分)
                    dx      (cost)arctgtdt

      5.解:所求直线的方向数为{1,0,-3}      (3分)
                              x-1    y-1    z-2
              所求直线方程为 ────=────=────      (2分)
                                1        0       -3
                          __                __
      6.解:du=ex +√y  + sinzd(x+√y +sinx)      (3分)
                           __                                   dy
                  =ex + √y  + sinz[(1+cosx)dx+ ─────]    (2分)
                                                                 ___
                                                              2√y
                       π            asinθ         1      π
      7.解:原积分=∫ sinθdθ ∫  rdr= ──a2 ∫ sin3θdθ    (3分)
                       0               0            2      0
                          π/2                 2
                    =a2  ∫ sin3θdθ = ── a2      (2分)
                            0                  3
                                           dy         dx
      8.解:两边同除以(y+1)2 得 ──────=──────    (2分)
                                       (1+y)2   (1+x)2
                            dy              dx
             两边积分得 ∫──────=∫──────        (1分)
                          (1+y)2     (1+x)2
                               1          1
             亦即所求通解为 ──── - ──── =c      (2分)
                             1+x      1+y

                                   1          1
      9.解:分解,得f(x)=──── + ────        (1分)
                                 1-x      2+x
                                   1        1       1
                              =──── + ──  ─────    (1分)
                                 1-x      2         x
                                                   1+──
                                                        2
                 ∞         1  ∞          xn                    x
               =∑ xn + ── ∑ (-1)n──  ( │x│〈1且│──│〈1 )(2分)
                 n=0        2  n=0         2n                    2
                     ∞                   1
                   =∑ [1+(-1)n ───]xn    ( │x│〈1)      (2分)
                     n=0                2n+1

  四、应用和证明题(共15分)

                                    du
    1.解:设速度为u,则u满足m=──=mg-ku    (3分)
                                    dt
                         1
            解方程得u=──(mg-ce-kt/m)    (3分)
                         k
                                      mg
            由u│t=0=0定出c,得u=──(1-e-kt/m)    (2分)
                                       k

                            __     1
    2.证:令f(x)=2√x + ── - 3 则f(x)在区间[1,+∞]连续  (2分)
                                   x
                                        1      1
            而且当x〉1时,f'(x)= ── - ── 〉0      (2分)
                                        __     x2
                                      √x
            因此f(x)在[1,+∞]单调增加       (1分)
            从而当x〉1时,f(x)〉f(1)=0   (1分)
                              ___         1
            即当x〉1时,2√x  〉3- ──        (1分)

  


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