微分方程 （一队）
第一节 基本概念
3．写出下列条件缺点的曲线所满足的方程。
（1）曲线在
处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
解：设曲线为y=y(x)则曲线上的点
处的切线斜率为
，由题意知所求方程为
（2）曲线在点P
处的法线x轴的交点为Q,PQ为y轴平分。
解：Q的坐标应为
，它应满足法线方程：
。
便得曲线所满足的微分方程：
（3）曲线上的点P
处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过
。
解：设Q坐标为
，它满足切线方程：
得：
又有
，得：
从上面两个方程消去
，便有
便是曲线满足的方程。
第二节 可分离变量与齐次方程
1.求下列方程通解
(1) 解:
(2)解:
(3)解:
(4)解:
2、
（1）
（2）
3.
4、解: t以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得
通解为: 
加以初始 p(0)=0.3,
便可求出 p(t)=0.3
e
及p(30)=0.3
e
然后与实测比较知,此人胰脏不正常.
5、解：任取（x,y）
该曲线，过该点的切线方程为：
该曲线与x轴交点应为
，代入便得曲线应满足的方程：
由初始条件 
解得： 
.
6.解 设在t时刻容器内含盐P(t),P(0)=10,由于t时刻容器内液体为:100+t,因此t时刻容器内浓度为Q(t)=
于是盐在t时刻盐的流失速度为2Q(t),从而有P(t)满足的方程为:
初始化条件为:
7.求下列方程的通解.
(1).
解:
原等式可化为:
(2).
解
8．求下列方程的特解。
（1）
解：原方程可化为
令
则
代入原方程得
即
分离变量得
而
故
即
亦即
由
得
所以所求特解为
即
（2）
解：原方程可写成
令
则
方程成为
分离变量得
而
故
即
亦即
由
得
所以所求特解为
即
（3）
解：原方程可化为
令
则
代入原方程得
8．求下列方程的特解。
（1）
解：原方程可化为
令
则
代入原方程得
即
分离变量得
而
故
即
亦即
由
得
所以所求特解为
即
（2）
解：原方程可写成
令
则
方程成为
分离变量得
而
故
即
亦即
由
得
所以所求特解为
即
（3）
解：原方程可化为
即
分离变量得
两边积分
即
亦即
由
得
所以所求特解为
9.解:设曲线弧
的方程为y=y(x),依题意有
对x求导得 
即 
令u=
,则 
方程成为 
即 
分离变量得 
积分得 
即 
由
得
故
的方程为 
10．
（１）解：令
代入方程得
即
积分得
即
（２）解：设
代入得 
积分得
即
