多元微分应用（七队）P27－32
1.<1>.解:在点
(1／2,2,1)处t=1,所以t=1时切向量为:
此处的切线方程为:
法平面方程为:
<2>
解:曲线在
处切向量为：
此处的切线方程为:
法平面方程为:
<3>
解: 曲面在
处的法向量为
.
在
处的法向量为
曲线在
处的切线为:
<4>
解: 在
处
,
的法向量分别为:
点
处曲线切线为: 
法平面为: 
P27
2
解：平面的法向量为：{1，2，1}
则 有： 
; 
=2t ; 
=3
;
即有：1×1+2t×2+3
×1=0
解之得 t=-1 或t=-
该点为 （-1，1，-1）或（-
，
，-
）
3
解： 
=
=
常数
P28 4
（1）
解：
e
-z+xy-3;
n=(
)=(y,x ,e
-1)
n
=(1,2,0)
故切平面为：（x-2）+2(y-1)=0
x-2+2y-2=0
x+2y=4
法线方程：
（2） 解：
z-
n=(
)=(
)
n
=(-
1)
切平面为：-
（x-1）+
（y-1）+(z-
)=0
y-x+2z=
故 法线为：
(3)解： n=(
)=[(1+
),-1,-
]
n
=(2,-1,-1)
故 切平面为：2x-2-y+1-z+1=0
即：2x-y-2=0
法线为：
5，在曲面z=xy上求一点，使该点处法线垂直于平面x+3y+z+9=0.
解：法向量（1，3，1）
n=(Fx,Fy.Fz)=(y,x,-1)
y/1=x/3=-1/1 y=-1,x=-3
该点为（-3，-1，3）
6．证明曲面
(a>0)上任一点处切平面与坐标平面形成的四面体体积为定值。
n=(Fx,Fy,Fz)=(yz,xz,xy)
切平面
与xoy坐标面
与yoz坐标面 
与xoz坐标面
P29 1
(1)
解:
令
得:
又因为
所以A=2e,B=0,C=2e
所以在点(1/2,-1)处有极小值Z=-e/2
(2)
解:
所以令
又
所以A=4/5,B=1,C=5且
所以在(5,2)处有极小值Z=30.
(3)
解:
令
得
又
所以
所以Z在
处有极大值
.
2.
<1>解：
x=-1代入方程f(x,y)=1-2x-3
(1<=y<=2)
最小y=I时,最大y=2时,分别对应z=2,z=9
y=1代入 =
+2x+3=(2x+1
+2 [x
(-1,2)]
最小z=2,最大z=11.
Y=-
x+
代入 =
+2x(-
x+
)+3(-
x+
(-1,2)
最小Z=
最大 z=11比较得，最大 z=11,最小z=2.
<2>
解：f(x,y)=1+xy-x-y
f(1,1)=0,f(-
,
)=
f(-2,4)=-9,f(2,4)=3
所以最大f(x,y)=-9最小f(x,y)=3
<3>
解：0
2
所以，最大f(
)=
(-1)=- -
最小f(
)=
f(0,0)=
=1
所以，最大f(x,y)=- 
最小f(x,y)=1
3.
设平面上有三点P1（0，0），P2（1，0），P3（0，1），在三角形P1P2P3的闭区域D上求出到这三点距离平方和为最大和最小的点。
解：设D中点坐标为（x，y），考查F（x，y）=x
+ y
+ (y-1)
+( x-1)
+ y
+x
=3 x
+
+ 3y
-2x-2y+2
要求0
x+y
1, x
0,y
0所围的区域中求出最大最小值.
先求出驻点,再求边界和端点
x+y=1,0
x
1;y=0;x=0;
x=0, 0
y
1
最大值在(0,1),(1,0)达到最小值在(1/3,1/3)达到.
4
从斜边为L的直角三角形求出周长最大的.
解:设一直角边x,其周长
S(x)=x+
+l,0<x<l
由ds/dx=0得x=
l,
由于在边界x=0,x=l处
知最大值在 x= 
l,y=
l, 达到S(x)max=(1+
)l
5.
一个体积为2的有盖长方体,问长宽高为多少时用料最省.
解:设长宽高为x,y,z
xyz=2,z=2/xy
表面积S=2(xy+y*2/xy+x*2/xy)=2(xy+2/x+2/y) (x>0,y>0)
设在点（x,y）取最小值
令A y=2(x-
)=0, A
x=2(y-
)=0,
得x=y=
即x=y=z=
时最省
6. 将周长为2P的巨型绕它的一边旋转，问矩形各边为多少时，可得圆柱的体积最大？
解：设矩型一边长为a。
V=л
=л
=лaP-2л
л
以a为变量，对V求导。
л=0
得a=
所以，高是
， 底面半径是
P。
7. 在第一卦限作椭球面
的切面，求使切平面和三坐标面所围成的体积最小的点。
解：法方向
。法平面：
再三坐标轴上的交点：
写出四面体的体积：
条件：
下求使V最小的（x,y,z）
得：