多元函数的导数与微分 （6队）
3.求由方程组确定的隐函数的导数。
（1）
求
（注意，方程中z是否是x的函数?）
解，
即
所以
2）
求
解，
即
所以
3）
求
解，
所以
所以
4.设
即
5，方程
证：
证：
第四节：方向导数与梯度
1：求下列函数的在指定点沿指定方向的导数
（1）
z=
+xy+
,在（1，2）处，沿从（1，2）到（0，3）方向。
解：
P26
4.求
在(1,-1,2)处方向导数之最大之值.
解:设该方向导数所沿方向的单位向量为
l=(cosα,cosβ,cosγ) 
+
+
=1
故所求方向导数
=
∣(1,-1,2)cosα+
∣(1,-1,2 ) cosβ+ 
∣(1,-1,2) cosγ
=2cosα-4cosβ+cosγ
在沿l方向的最大值是
沿l方向的梯度.
即gradu(1,-1,2)=2i-4j+k.
故
的最大值为│gradu(1,-1,2)│=
5.设u=
+
+
-3xyz,求梯度与z轴垂直的点及
梯度为0的点.
解:gradu=
i+
j+
k
=(3
+3yz)I+(3
+3xz)j+(3
-3xy)k
梯度与z轴垂直的点,即
3
-3xy=0 
=xy
z=0 grad u=3
i+3
j
3
-3yz=0
=yz
3
-3xz=0
=xz
3
-3xy=0
=xy
即x=y=z=0
grad u=0
6.u﹑v都可微,证明
grad(u+v)=gradu+gradv,
grad(u﹒v)=ugradv+vgradu.
证: grad(u+v)=
i+
j+
k
=
i+
j+
k+
i+
j+
k
=gradu+gradv
grad(u﹒v)=(
, 
,
)
=u(
,
,
)+v(
,
,
)
=ugradv+vgradu