三重积分　（九队）

1.计算下列积分

⑴. I=,是以（0，0，0），（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）为顶点的四面体。

解：写出顶曲面的方程：x++=1,则z=3(1－x－),

底曲面的方程：z=0.

在XOY平面上投影D：x=0,y=0,y=－2x+2的封闭平面。

）

⑵．

解：先画出草图来。

顶曲面方程：z=y,

底曲面方程：z=0.

在XOY平面上投影D：y=0,x=a,y=x的封闭平面。

⑶。

解：先画出草图，

顶曲面方程：z=,

底曲面方程：z=0,

在XOY平面上投影D：y=0,x=

⑷．

解：

2．用柱坐标计算下列积分。

⑴．

解：

⑵．

解：

3.利用球坐标计算下列积分

(1) ,是由所围.

解: 画出草图, 可以得出:

,

dV=

=

=

=

=

=

(2) 是由 和 所确定.

解: 画出草图, 是上半锥面.

=

=

=

=

4.选用适当的方法计算下列积分.

(1) ,其中Ω是由与z=所围.

解法(1):先二后一.

I==z²sinzdz

=(²-4)

解法(2):先一后二

原式=

=

=(可令x=rcos y=rsin 进行计算)

=³-4

(2),.是由z=1+与z=1所围.

解法(1):用柱面坐标.

因为

I=

=

解法(2):先二后一法.

原式= （其中D₁为z=1+当时所确定的曲面，D₂为z=时与z=1+确定的曲面）

=z²)dz+ 1²

⑶．，

解：当然用球坐标是最自然的，但是这里用先一后二的直角坐标试试。

。（为什么？）

请用球坐标试试。

⑷．

解：首先让该积分与一三重积分对应，积分区域应由和组成顶部和底部，而在XOY平面投影应为：。即为上半圆，画出草图。

由于被积函数只依赖于z,因此最后对z积分是最简单的，于是可用先二后一法：

，是截所得区域（应是半圆盘？）。

（5）

解：

由题知，积分区域为一球面：

化为球坐标：

=

=

（6）设

p

解：用球坐标：

=

=1

=1

当p

当p